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donc

${\begin{aligned}x=&\left[\mathrm {E} \cos \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)+{\frac {\mathrm {F} \sin \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)}{\sqrt {c\alpha }}}\right]\varphi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\y=&\left[\mathrm {E} \cos \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)+{\frac {\mathrm {F} \sin \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)}{\sqrt {c\alpha }}}\right]\psi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\z=&\left[\mathrm {E} \cos \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)+{\frac {\mathrm {F} \sin \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)}{\sqrt {c\alpha }}}\right]\chi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\\\x'=&\left[\mathrm {F} \cos \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)-\mathrm {E} {\sqrt {c\alpha }}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)\right]\varphi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\y'=&\left[\mathrm {F} \cos \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)-\mathrm {E} {\sqrt {c\alpha }}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)\right]\psi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ),\\z'=&\left[\mathrm {F} \cos \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)-\mathrm {E} {\sqrt {c\alpha }}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha }}\right)\right]\chi (\alpha ,\mathrm {X,Y,Z} ).\end{aligned}}$

Il n’est pas difficile de voir ici que les vibrations des particules seront toutes synchrones à celles d’un pendule simple dont la longueur serait ${\frac {2h}{\alpha \mathrm {T} ^{2}c}}={\frac {1}{\alpha }}\mathrm {\frac {D}{E}} \,;$ par conséquent, quelles que soient les valeurs de $\alpha ,$ le fluide pourra toujours faire des oscillations isochrones d’autant d’espèces qu’il y aura de différentes valeurs de a. Au reste, ce cas est celui de l’isochronisme ordinaire, où les forces accélératrices sont proportionnelles aux espaces à parcourir.

61. Supposons maintenant

${\begin{aligned}\alpha x+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+\,{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}=&p,\\\alpha y+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} }}=&q,\\\alpha z+\,{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}=&r,\end{aligned}}$

on aura

$\int (p\mathrm {L} +q\mathrm {M} +r\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} =(\alpha +k)\int (x\mathrm {L} +y\mathrm {M} +z\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} .$

Donc, pour que l’intégrale

$\int (x\mathrm {L} +y\mathrm {M} +z\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z}$

devienne nulle, il suffira de faire

$\int (p\mathrm {L} +q\mathrm {M} +r\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} =0,$