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l’ajoute à la seconde, on aura

$\iint dxdy\left[k+\left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)+\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)\right]\delta z=0,$

d’où l’on tire l’équation générale

$k+\left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right)+\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right)=0,$

qui aura lieu toutes les fois que

$(\mathrm {P} +kx)dy-\mathrm {Q} dx$

sera une différentielle complète. Donc la question sera réduite à chercher $p$ et $q$ par cette condition que, $pdx+qdy$ étant une différentielle exacte,

${\frac {pdy-qdx}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}+kxdy$

en soit une aussi.

L’équation de la sphère est en général

$(z-a)^{2}+(y-b)^{2}+(x-c)^{2}=r^{2},$

ce qui donne

$dz={\frac {(y-b)dy+(x-c)dx}{\sqrt {r^{2}-(y-b)^{2}-(x-c^{2})}}}\,;$

donc

$p={\frac {x-c}{\sqrt {r^{2}-(y-b)^{2}-(x-c^{2})}}},\qquad q={\frac {y-b}{\sqrt {r^{2}-(y-b)^{2}-(x-c^{2})}}},$

donc

${\frac {pdy-qdx}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}+kxdy=\left({\frac {1}{r}}+k\right)xdy-{\frac {1}{r}}ydx+{\frac {bdx-cdy}{r}},$

qui est une différentielle complète si

${\frac {1}{r}}+k=-{\frac {1}{r}}.$

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Appendice II.

Soit proposé de trouver celui d’entre tous les polygones qui ont un nombre donné de côtés donnés, dont l’aire est la plus grande.