I.
Problème I. — Trouver le mouvement d’un corps
attiré vers tant de centres fixes qu’on voudra par des forces
exprimées par des fonctions quelconques des distances.
Solution. — Comme il n’y a ici qu’un seul corps
la formule qui doit être un maximum ou un minimum sera simplement
on aura donc, suivant la méthode expliquée dans le Mémoire précédent, l’équation
![{\displaystyle \delta \left(\mathrm {M} \int uds\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f5f49d172f302b7e44571bfe609b60aefd5e7f)
ou, en divisant par
qui est constante,
![{\displaystyle \delta \left(\int uds\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19778b780077590e119b6ce01959b389d0e5f570)
Or,
![{\displaystyle \delta (uds)=u\delta ds+\delta uds\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327754264a6f5329a1862941c9e35449824889dc)
donc, changeant l’expression
en son équivalente
comme on l’a enseigné (Article I, Mémoire précédent), on aura l’équation
![{\displaystyle \int (u\delta ds+\delta uds)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747abddc3facfc15a0f56ca3b35403f8d5dbae41)
Soient
les distances du corps
aux centres des forces
on aura, comme tous les Géomètres le savent,
![{\displaystyle {\frac {u^{2}}{2}}=\mathrm {const} -\int \left(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ba048df95914cd42d15cfce95f7d1a0eeaf71d)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}u\delta u&=-\delta \int \left(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots \right)\\&=-\int \left(d\mathrm {P} dp+\mathrm {P} \delta dp+\delta \mathrm {Q} dq+\mathrm {Q} \delta dq+\delta \mathrm {R} dr+\mathrm {R} \delta dr+\ldots \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51ed356c8521bd6420bd3c8bc6ab454f40f6898)
ou en changeant
en
et intégrant