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minimité de la formule intégrale

$\mathrm {M} \int uds+\mathrm {M} '\int u'ds'+\mathrm {M} ''\int u''ds''+\ldots ,$

mais elle servira toujours également pour trouver les mouvements des corps $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$ quelles que soient les forces dont ils sont animés. Ainsi, sans s’embarrasser que la formule dont nous parlons soit réellement un maximum ou un minimum, on pourra toujours employer l’équation (U) dans quelque hypothèse de forces que ce soit.

XIV.

Problème III. — Trois corps $\mathrm {M,M',M''}$ s’attirent mutuellement par des forces d’attraction $\mathrm {F,F',G} \,;$ trouver les orbites des corps $\mathrm {M',M''}$ par rapport au corps $\mathrm {M}$ regardé comme en repos.

Solution. — Les mêmes noms étant conservés que dans l’Article IX on fera de plus, comme dans l’Article X,

$x'=x+\mathrm {X} ,\qquad y'=y+\mathrm {Y} ,\ldots ,$

et l’on aura

${\begin{aligned}ds\ \ =&{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},\\ds'\ =&{\sqrt {(dx+d\mathrm {X} \ )^{2}+(dy+d\mathrm {Y} \ )^{2}+(dz+d\mathrm {Z} \ )^{2}}},\\ds''=&{\sqrt {\left(dx+d\mathrm {X} '\right)^{2}+\left(dy+d\mathrm {Y} '\right)^{2}+\left(dz+d\mathrm {Z} '\right)^{2}}},\end{aligned}}$

d’où l’on tirera, par la différentiation, les valeurs de $\delta ds,\delta ds',\delta ds'',$ qu’il faudra substituer dans l’équation (D) de l’Article VIII.

Mais pour mieux représenter les orbites relatives des corps $\mathrm {M',M''} ,$ soient pris, au lieu des coordonnées rectangles $\mathrm {X,Y,X',Y'} ,$ deux rayons vecteurs $r,r',$ avec deux angles correspondants $\varphi ,\varphi ',$ tels que l’on ait

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {X} \ =&r\ \cos \varphi ,&\mathrm {Y} \ =&r\ \sin \varphi ,\\\mathrm {X} '=&r'\cos \varphi ',\qquad &\mathrm {Y} '=&r'\sin \varphi '\,;\end{alignedat}}$