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$\delta {\grave {\,}}\!x,\delta {\grave {\,}}\!y,\delta {\grave {\,}}\!z,\delta x',\delta y',\delta z',$ sont nulles par elles-mêmes, et l’équation dont il s’agit ne fournit aucune condition nouvelle ; c’est le cas de l’Article précédent.

2^o S’il n’y a qu’une des extrémités du fil qui soit fixe, alors on aura simplement $\delta {\grave {\,}}\!x,\delta {\grave {\,}}\!y,\delta {\grave {\,}}\!z$ ou $\delta x',\delta y',\delta z'$ égaux à zéro ; dans le premier cas, il restera l’équation

$\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right){\frac {kdt}{\operatorname {d} x'}}=0,$

à laquelle on ne peut satisfaire qu’en mettant $k=0\,;$ dans le second, l’équation restante sera

$-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {k+\mathrm {T} }{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}=0,$

laquelle donnera nécessairement

$k+\mathrm {T} =0,\quad {\text{savoir}}\quad \mathrm {T} =-k,$

3^o Si le fil est attaché d’un côté à une verge fixe le long de laquelle il puisse couler par le moyen d’un anneau, et que l’équation de la verge soit en général

$dz=mdx+ndy,$

alors on supposera

$\delta {\grave {\,}}\!z={\grave {\,}}\!m\delta {\grave {\,}}\!x+{\grave {\,}}\!n\delta {\grave {\,}}\!y,\quad {\text{ou}}\quad \delta z'=m'\delta x'+n'\delta y',$

selon que ce sera le premier ou le dernier point du fil qui décrira la courbe donnée ; et substituant dans l’équation ci-dessus la valeur de $\delta {\grave {\,}}\!z$ ou de $dz'$ on en tirera pour le premier cas les deux conditions

$\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+{\grave {\,}}\!m\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,\qquad \operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+{\grave {\,}}\!n\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,$

et de plus $k=0,$ si l’autre bout du fil est libre, et pour le second cas on trouvera de même

$\operatorname {d} x'+m'\operatorname {d} z'=0,\qquad \operatorname {d} y'+n'\operatorname {d} z'=0,$

et de plus $\mathrm {T} +k=0,$ si le premier point du fil est libre.