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et de plus la densité $\mathrm {D}$ constante, on aura, en divisant par $\mathrm {D}$ et marquant toutes les différences par $d,$ ce qui est absolument indifférent ici,

${\frac {d^{2}\alpha }{dtdy}}+\alpha {\frac {d^{2}\alpha }{dxdy}}+\beta {\frac {d^{2}\alpha }{dy^{2}}}+\gamma {\frac {d^{2}\alpha }{dydz}}+{\frac {d\alpha }{dx}}{\frac {d\alpha }{dy}}+{\frac {d\alpha }{dy}}{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\alpha }{dz}}{\frac {d\gamma }{dy}}$

$={\frac {d^{2}\beta }{dtdx}}+\alpha {\frac {d^{2}\beta }{dx^{2}}}+\beta {\frac {d^{2}\beta }{dxdy}}+\gamma {\frac {d^{2}\beta }{dxdz}}+{\frac {d\beta }{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}{\frac {d\beta }{dx}}+{\frac {d\beta }{dz}}{\frac {d\gamma }{dx}},$

${\frac {d^{2}\alpha }{dtdz}}+\alpha {\frac {d^{2}\alpha }{dxdz}}+\beta {\frac {d^{2}\alpha }{dydz}}+\gamma {\frac {d^{2}\alpha }{dz^{2}}}+{\frac {d\alpha }{dx}}{\frac {d\alpha }{dz}}+{\frac {d\alpha }{dy}}{\frac {d\beta }{dz}}+{\frac {d\alpha }{dz}}{\frac {d\gamma }{dz}}$

$={\frac {d^{2}\gamma }{dtdx}}+\alpha {\frac {d^{2}\gamma }{dx^{2}}}+\beta {\frac {d^{2}\gamma }{dxdy}}+\gamma {\frac {d^{2}\gamma }{dxdz}}+{\frac {d\gamma }{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\gamma }{dy}}{\frac {d\beta }{dx}}+{\frac {d\gamma }{dz}}{\frac {d\gamma }{dx}},$

Ces équations peuvent s’abréger en supposant

${\frac {d\alpha }{dy}}-{\frac {d\beta }{dx}}=\mu ,\qquad {\frac {d\alpha }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dx}}=\nu .$

ce qui les réduira à

$(h)\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\mu }{dt}}+\alpha {\frac {d\mu }{dx}}+\beta {\frac {d\mu }{dy}}+\gamma {\frac {d\mu }{dz}}+\mu \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)+{\frac {d\alpha }{dz}}{\frac {d\gamma }{dy}}-{\frac {d\beta }{dz}}{\frac {d\gamma }{dx}}=&0.\\{\frac {d\nu }{dt}}+\alpha {\frac {d\nu }{dx}}+\beta {\frac {d\nu }{dy}}+\gamma {\frac {d\nu }{dz}}+\nu \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)+{\frac {d\alpha }{dy}}{\frac {d\beta }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dy}}{\frac {d\beta }{dx}}=&0.\\\end{aligned}}\right.$

On peut satisfaire à ces deux équations, en faisant

$\mu ={\frac {d\alpha }{dy}}-{\frac {d\beta }{dx}}=0,\qquad \nu ={\frac {d\alpha }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dx}}=0,\qquad {\frac {d\beta }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dy}}=0,$

comme il est facile de s’en assurer ; or la troisième de ces conditions est évidemment une suite nécessaire des deux premières ; donc on n’aura réellement que deux conditions à remplir, lesquelles pourront s’exprimer plus simplement en disant que $\alpha dx+\beta dy+\gamma dz$ doit être une différentielle complète ; et ces conditions jointes avec celle que donne l’équation $(i),$ savoir, en changeant $\operatorname {d}$ en $d,$

${\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d^{2}\beta }{dy^{2}}}+{\frac {d\gamma }{dz}}=0.$