ceux de
dans les deux différentielles
on aura les valeurs de
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} y}},\quad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} z}},\quad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\beta }{dt}}}{\operatorname {d} x}},\quad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\gamma }{dt}}}{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc60b123fbc98db028ca131d21d96bf52e699fda)
lesquelles étant mises à la place de ces quantités dans les équations
il nous viendra, en ôtant le dénominateur commun
les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {NT-MU} ){\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dt^{2}}}+&(\mathrm {LU-NS} ){\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dt^{2}}}+(\mathrm {MS-LT} ){\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dt^{2}}}\\=(\mathrm {QU-RT} ){\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dr^{2}}}+&(\mathrm {RS-PU} ){\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}\,+(\mathrm {PT-QS} ){\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}},\\(\mathrm {MR-NQ} ){\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dt^{2}}}+&(\mathrm {NP-LR} ){\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dt^{2}}}+(\mathrm {LQ-MP} ){\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dt^{2}}}\\=(\mathrm {QU-RT} ){\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dt^{2}}}+&(\mathrm {RS-PU} ){\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}\ +(\mathrm {PT-QS} ){\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dt^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3b036b3f92daf381e0e8fdeb8d55943b0be0e6)
Si l’on met dans ces deux équations, aussi bien que dans celle qui a été trouvée précédemment pour
leurs valeurs ![{\displaystyle {\frac {dx}{d\mathrm {X} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a469c0026716e9c4e8ffd626f756610f2cf296f2)
on aura trois équations générales qui ne renfermeront que les changeantes
avec leurs différences relatives à
et par lesquelles on pourra déterminer la position de chaque particule du fluide à chaque instant de son mouvement.
XLV.
Scolie. — Les équations
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5857c658cd1e4294cc613daf16d0110bb0a189d9)
que nous avons supposées dans l’Article XLII pour simplifier les formules
ont lieu quand toutes les forces
sont telles que leurs actions sur les particules du fluide se détruisent mutuellement, c’est-à-dire que les particules du fluide animées par ces forces se font équilibre.