ou bien
![{\displaystyle z={\frac {y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}\left[\mathrm {C-A} \int {\frac {e^{-\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}}{y_{1}^{2}}}dt\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3dc3cd708dd0d7b3f6746315acfcccb46b5e99)
Donc, en faisant
on aurait
![{\displaystyle z={\frac {\mathrm {C} y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}=z_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b573a85c4dced5aa9ed7f85bfeca146c9b86be9e)
et, en faisant ![{\displaystyle \mathrm {C} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9411cbd518c618a1fcac1b5ba0786c9e4b7c9f)
![{\displaystyle z=-{\frac {\mathrm {A} y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}\int {\frac {e^{-\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}}{y_{1}^{2}}}dt=z_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebd729e0d79823b732632cbbd24cbbdad013d14)
Supposons que les quantités
soient constantes, on aura, comme on sait, pour les deux valeurs de
qui satisfont à l’équation
et
et
étant les racines de l’équation
donc
![{\displaystyle y_{1}=e^{k_{1}t},\qquad y_{2}=e^{k_{2}t}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b47b8c0ae54846059f9ad566bb2518605c570be)
et par conséquent
![{\displaystyle z_{1}=-\mathrm {\frac {B}{N}} {\frac {e^{-k_{2}t}}{k_{1}-k_{2}}},\qquad z_{2}=\mathrm {\frac {A}{N}} {\frac {e^{-k_{1}t}}{k_{1}-k_{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b5d12b8156fe20a1cddc2aaa117f4364717c21)
donc
![{\displaystyle y={\frac {e^{k_{2}t}\int \mathrm {T} e^{-k_{2}t}dt-e^{k_{1}t}\int \mathrm {T} e^{-k_{1}t}dt}{\mathrm {N} (k_{2}-k_{1})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724cd5a4d8ca0592610a713a823e1863905c6d72)
Si l’on voulait employer les valeurs de
et de
trouvées à la fin du numéro précédent, on aurait
![{\displaystyle z_{1}=-{\frac {\mathrm {C} y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\mathrm {\frac {M}{N}} dt}\quad {\text{et}}\quad z_{2}=-{\frac {\mathrm {A} y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\mathrm {\frac {M}{N}} dt}\int {\frac {e^{-\mathrm {\frac {M}{N}} dt}}{y_{1}^{2}}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17391839b2d21d35e7712c9835140f728da645c4)
ou bien, en mettant pour
sa valeur ![{\displaystyle e^{k_{1}t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64814886399284728284cbb56a37d65b9fbdc536)
![{\displaystyle z_{1}={\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {N} }}e^{\left(k_{1}+\mathrm {\frac {M}{N}} \right)t}\quad {\text{et}}\quad z_{2}={\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {M+2N} k_{1}}}e^{-k_{1}t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac5fc7571f41442edc1ad3d5bd4c0d93aba30fb)