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l’équation dont il s’agit se réduira à celle-ci :

(M)

$\alpha y+\beta (h+kt){\frac {dy}{dt}}+\gamma (h+kt)^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots =\theta .$

Supposons que $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots$ soient les racines de l’équation (L), et que $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots \beta _{1},\beta _{2},\beta _{3},\ldots$ soient ce que deviennent les quantités $\alpha ,\beta ,\ldots ,$ lorsque $r$ devient successivement $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots \,;$ au lieu de l’équation. (M), on aura celles-ci :

${\begin{array}{lr}(\mathrm {M} _{1})\qquad &\alpha _{1}y+\beta _{1}(h+kt){\cfrac {dy}{dt}}+\gamma _{1}(h+kt)^{2}{\cfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots =\theta _{1},\\(\mathrm {M} _{2})\qquad &\alpha _{2}y+\beta _{2}(h+kt){\cfrac {dy}{dt}}+\gamma _{2}(h+kt)^{2}{\cfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots =\theta _{2},\\(\mathrm {M} _{3})\qquad &\alpha _{3}y+\beta _{3}(h+kt){\cfrac {dy}{dt}}+\gamma _{3}(h+kt)^{2}{\cfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots =\theta _{3},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{array}}$

dont le nombre sera le même que celui des quantités inconnues $y,{\frac {dy}{dt}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ldots ,$ comme il est facile de s’en assurer. Ainsi, en éliminant les quantités ${\frac {dy}{dt}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ldots ,$ on aura la valeur de $y$.

Pour cet effet, je multiplie l’équation $(\mathrm {M} _{1})$ par $\mathrm {M} ',$ l’équation $(\mathrm {M} _{2})$ par $\mathrm {M} '',$ et ainsi de suite ; après quoi je les ajoute ensemble : j’ai

${\begin{aligned}&\left(\mathrm {\alpha _{1}M'+\alpha _{2}M''+\alpha _{3}M'''} +\ldots \right)y\\+&\left(\mathrm {\beta _{1}M'+\beta _{2}M''+\beta _{3}M'''} +\ldots \right)(h+kt){\frac {dy}{dt}}\\+&\left(\mathrm {\gamma _{1}M'+\gamma _{2}M''+\gamma _{3}M'''} +\ldots \right)(h+kt)^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots \\=&\mathrm {M'\theta _{1}+M''\theta _{2}+M'''\theta _{3}} +\ldots \end{aligned}}$

Je suppose

(N)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {\beta _{1}M'+\beta _{2}M''+\beta _{3}M'''} +\ldots =&0,\\\mathrm {\gamma _{1}M'+\gamma _{2}M''+\gamma _{3}M'''} +\ldots =&0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$