l’angle de
degrés ; donc
![{\displaystyle r+1={\frac {\log {\cfrac {\alpha }{\beta }}+(2\nu +1)\pi {\sqrt {-1}}}{\log {\cfrac {1+ka}{1+kb}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742aa83209c92d11e1c8e3ba1d95b088e6a15ed7)
et l’on aura les différentes valeurs de
en faisant successivement
égal à ![{\displaystyle 1,-1,2,-2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe690f258179b656b552b7caaf1d2716c79d17d)
Si
est une quantité réelle négative,
sera réelle positive ; c’est pourquoi on supposera
![{\displaystyle \lambda ={\frac {-\alpha }{\beta }},\qquad \cos \varphi =1,\qquad \sin \omega =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22bc68504af4e6f1ccec337d5a0d5c0c4f3ee25)
d’où
![{\displaystyle \omega =2\nu \pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e82847f3b8aaf3e8c1f7042d084d83e0ee0097)
et par conséquent
![{\displaystyle r+1={\frac {\log \left(-{\cfrac {\alpha }{\beta }}\right)+2\nu \pi {\sqrt {-1}}}{\log {\cfrac {1+ka}{1+kb}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c55d765415b02a7512deddcdd521fe9ef0920a1)
Enfin, si
est une quantité imaginaire de la forme
on aura
![{\displaystyle \lambda \cos \omega =-p\quad {\text{et}}\quad \lambda \sin \omega =-q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b144dddbe2fdd1aa4bc14e9a1818e9084f5131a8)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \lambda ={\sqrt {p^{2}+q^{2}}},\qquad \sin \omega =-{\frac {q}{\lambda }}\quad {\text{et}}\quad \cos \omega =-{\frac {p}{\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2ba78e7cfd56da3974127e31eab7adfa79fa2b)
Donc, si l’on suppose que
soit le plus petit angle dont le sinus est égal à
et le cosinus à
on aura
![{\displaystyle \omega =\omega '+2\nu \pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4880fe2acdaf19667f97ce4ac936f99ef7b53d41)
dénotant comme ci-devant un nombre quelconque entier positif ou négatif, d’où
![{\displaystyle r+1={\frac {\log \lambda +(\omega '+2\nu \pi ){\sqrt {-1}}}{\log {\cfrac {1+ka}{1+kb}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f21b5587fef18e917b4305ca75370d9f4f0d75d)