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or, à cause de $k={\frac {\sin u}{\cos u}},$ on a

${\begin{aligned}\left(1\pm k{\sqrt {-1}}\right)^{-r-1}=&\cos ^{r+1}u\left(\cos u\pm \sin u{\sqrt {-1}}\right)^{-r-1}\\=&\cos ^{r+1}u\left[\cos(r+1)u+\sin(r+1)u{\sqrt {-1}}\right],\end{aligned}}$

et

$\log \left(1\pm k{\sqrt {-1}}\right)=\log {\frac {\left(\cos u\pm \sin u{\sqrt {-1}}\right)}{\cos u}}=\pm u{\sqrt {-1}}-\log \cos u\,;$

donc on aura pour le premier cas, à cause de $(r+1)u={\frac {\mu \pi }{2}},$

$\mathrm {Q} =-2\cos ^{r+1}u\left[u\sin(r+1)u-(\log \cos u)\cos(r+1)u\right]=\mp 2u\cos ^{r+1}u,$

le signe supérieur étant pour le cas où $\mu$ sera de la forme $4\nu +1,$ et le signe inférieur pour le cas où $\mu$ sera de la forme $4\nu +3\,;$ et pour l’autre cas

${\begin{aligned}\mathrm {Q} =&-2\cos ^{r+1}u\left[u\cos(r+1)u+(\log \cos u)\sin(r+1)u\right]{\sqrt {-1}}\\=&\mp 2u\cos ^{r+1}u{\sqrt {-1}},\end{aligned}}$

le signe supérieur étant pour le cas où $\mu$ est de la formes $4\nu ,$ et le signe inférieur pour le cas où $\mu$ est de la forme $4\nu +2.$

3^o On aura, à cause de $\mathrm {T=H,}$

$\int \mathrm {T} (h+kt)^{r}dt={\frac {\mathrm {H} }{(r+1)k}}(h+kt)^{r+1}+\mathrm {const} .,$

donc

$\theta ={\frac {\mathrm {H} }{(r+1)k}}+(h+kt)^{-r-1}\times \mathrm {const} .$

Donc on aura en général dans le premier cas

$-k{\frac {\theta }{\mathrm {Q} }}=\pm {\frac {\mathrm {H} }{2u(r+1)\cos ^{r+1}u}}+(h+kt)^{-r-1}\times \mathrm {const} .,$

et dans le second cas

$-k{\frac {\theta }{\mathrm {Q} }}=\pm {\frac {\mathrm {H} }{2u(r+1)\cos ^{r+1}u{\sqrt {-1}}}}+(h+kt)^{-r-1}\times \mathrm {const} .$