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équation dont les racines seront $\pi ^{2},4\pi ^{2},9\pi ^{2},16\pi ^{2},\ldots$ à l’infini ; donc, comparant cette équation avec l’équation

${\frac {\sin z}{z}}=1-{\frac {z^{2}}{2.3}}+{\frac {z^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {z^{6}}{2.3.4.5.6.7}}+\ldots =0,$

dont les racines sont aussi, comme on sait, $\pi ^{2},4\pi ^{2},9\pi ^{2},16\pi ^{2},\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}\beta '\ \ +{\frac {1}{m^{2}}}=&{\frac {\pi ^{2}}{2.3}},\\\beta ''\ +{\frac {\beta '}{m^{2}}}=&{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}},\\\beta '''+{\frac {\beta ''}{m^{2}}}=&{\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

par où l’on connaîtra les valeurs des quantités $\beta \,;$ mais, pour notre objet, il suffit de remarquer que

$1-\beta 'u^{2}+\beta ''u^{4}-\beta '''u^{6}+\ldots ={\frac {\sin \pi u}{\pi u\left(1-{\cfrac {u^{2}}{m^{2}}}\right)}}.$

Car, faisant : 1^o $u^{2}=-1,$ savoir $u={\sqrt {-1}},$ on aura

$1+\beta '+\beta ''+\beta '''+\ldots ={\frac {\sin \pi {\sqrt {-1}}}{\pi {\sqrt {-1}}\left(1+{\cfrac {1}{m^{2}}}\right)}}={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi \left(1+{\cfrac {1}{m^{2}}}\right)}}\,;$

2^o si l’on suppose $u=m,$ on trouvera, en différenciant le numérateur et le dénominateur, à cause que l’un et l’autre s’évanouissent lorsque $u=m,$

$1-\beta 'm^{2}+\beta ''m^{4}-\beta '''m^{6}+\ldots =-{\frac {\cos m\pi }{2}}=\pm {\frac {1}{2}},$

le signe supérieur étant pour le cas où $m$ est impair, et le signe inférieur pour le cas où $m$ est pair ; donc on aura

$\alpha ^{(m)}=\pm {\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi \left(1+{\cfrac {1}{m^{2}}}\right)}}\mp 2\alpha ,$