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pour toutes les valeurs de $\rho ^{2},$ hors une quelconque à volonté comme $\rho _{m}^{2}\,;$ car alors les quantités $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\ldots$ seront nulles, à l’exception de $\theta _{m},$ et par conséquent la valeur de $y^{(s)}$ se réduira à ${\frac {\nu _{m}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{m}}}\theta _{m}.$ Mais les équations $(m)$ étant absolument semblables à l’équation $(h)$ du n^o 30, il est clair qu’on aura pour la détermination des quantités $\mathrm {Y',Y'',Y''',\ldots ,V',V'',V'''} ,\ldots ,$ des équations analogues aux équations $(k)\,;$ d’où il s’ensuit que ces quantités seront en raison constante avec les quantités $\nu '_{m},\nu ''_{m},\nu '''_{m},\ldots \nu _{m}^{(n)}\,;$ de sorte qu’on aura

${\frac {\mathrm {\lambda '_{m}Y'+\lambda ''_{m}Y''+\lambda '''_{m}Y'''} +\ldots +\lambda _{m}^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}}{\mathrm {Y} ^{(s)}}}$

${\begin{aligned}&={\frac {\mathrm {\lambda '_{m}V'+\lambda ''_{m}V''+\lambda '''_{m}V'''} +\ldots +\lambda _{m}^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}}{\mathrm {V} ^{(s)}}}\\&={\frac {\lambda '_{m}\nu '_{m}+\lambda ''_{m}\nu ''_{m}+\lambda '''_{m}\nu '''_{m}+\ldots +\lambda _{m}^{(n)}\nu _{m}^{(n)}}{\nu _{m}^{(s)}}}={\frac {\mathrm {Q} _{m}}{\nu _{m}^{(s)}}}\,;\end{aligned}}$

donc

$y^{(s)}=\mathrm {Y} ^{(s)}\cos r_{m}t+\mathrm {V} ^{(s)}{\frac {\sin r_{m}t}{r_{m}}}.$

Ainsi le mouvement des corps sera le même, dans ce cas, que s’ils étaient pesants et qu’ils fussent suspendus chacun à un fil de longueur ${\frac {1}{r_{m}^{2}}},$ la gravité étant prise pour l’unité des forces accélératrices ; d’où l’on voit que le système est susceptible d’autant de différents mouvements isochrones que l’équation $\mathrm {P} =0$ a de racines réelles négatives et inégales.

Des oscillations d’un fil fixe par une de ses extrémités, et
chargé d’un nombre quelconque de poids.

36. Soit $n$ le nombre des poids, que nous supposerons, pour plus de simplicité, égaux entre eux et également éloignés les uns des autres ; imaginons que le fil ne fasse que des oscillations infiniment petites et dans le même plan ; et soient nommées $y',y'',y''',\ldots ,y^{(n)}$ les distances des corps à la verticale, à commencer par le plus bas, et $a$ la distance d’un corps à l’autre : on aura, comme il est très-aisé de le voir par les principes de la Dynamique, et comme on peut le déduire des formules