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donc

${\begin{aligned}\chi &=\nu '+\nu ''+\nu '''+\ldots +\nu ^{(n)}\\&=1\\&+1+a\pi ^{2}\\&+1+2a\pi ^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}\rho ^{4}\\&+1+3a\pi ^{2}+{\frac {3a^{2}}{2}}\rho ^{4}+{\frac {a^{3}}{2.3}}\rho ^{6}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&1+(n-1)a\rho ^{2}+{\frac {(n-1)(n-2)a^{2}}{4}}\rho ^{4}+{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)a^{3}}{4.9}}\rho ^{6}+\ldots \\=&n+{\frac {n(n-1)a}{2}}\rho ^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)a^{2}}{4.3}}\rho ^{4}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)a^{3}}{4.9.4}}\rho ^{6}+\ldots ,\end{aligned}}$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {Q} =-{\frac {1}{2}}\chi \rho {\frac {d\mathrm {P} }{d\rho }}=-a\rho ^{2}&\left[n+{\frac {n(n-1)}{2}}a\rho ^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{4.3}}a^{2}\rho ^{4}\right.\\&\qquad \left.\quad +{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{4.9.4}}a^{3}\rho ^{6}+\ldots \right]^{2}.\end{aligned}}$

Ces deux expressions de $\mathrm {Q}$ ne sont, pas à la vérité identiques, mais elles deviennent égales lorsque $\rho$ est égal à $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots \,;$ ce qui suffit pour notre objet.

Faisant donc ces substitutions dans la dernière formule du n^o 30, on aura l’expression générale des quantités $y,$ et le problème sera résolu.

Au reste, quoiqu’il soit difficile, peut-être impossible, de déterminer en général les racines de l’équation $\mathrm {P} =0,$ on peut cependant s’assurer, par la nature même du problème, que ces racines sont nécessairement toutes réelles inégales et négatives ; car sans cela les valeurs de $y',y'',y''',\ldots$ pourraient croître à l’infini, ce qui serait absurde.

37. Si l’on cherche quelles doivent être les distances et les vitesses initiales des corps pour que chacun d’eux ne fasse que des vibrations isochrones et analogues à celles d’un pendule simple, on trouvera (n^o 35),