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Or

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=2y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+2{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\,;$

donc, si l’on multiplie l’équation (A) par $2y,$ et l’équation (B) du n^o 44 par $2,$ et qu’ensuite on les ajoute ensemble, on aura

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+4\mathrm {K} ^{2}y^{2}+6\mathrm {L} y+2\mathrm {H} +{\frac {10i\mathrm {M} }{3}}y^{3}+6i^{2}\mathrm {N} y^{4}=0.$

Mais, comme la quantité $u$ est déjà multipliée par $i$ dans l’équation (D), il est clair que pour ne pas introduire dans la valeur de $y$ des termes de l’ordre de $i^{3},$ il faut rejeter dans la valeur de $u,$ et par conséquent aussi dans celle de ${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}},$ les termes de l’ordre de $i^{2}\,;$ effaçant donc le terme $6i^{2}\mathrm {N} y^{4},$ et mettant dans les autres $u$ à la place de $y^{2}$ et $v$ à la place de $y^{3},$ on aura

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+4\mathrm {K} ^{2}u+6\mathrm {L} y+2\mathrm {H} +{\frac {10i\mathrm {M} }{3}}v=0.$

On a de même

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=3y^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+6y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\,;$

donc, multipliant l’équation (A) par $3y^{2},$ et l’équation (B) par $6y,$ et les ajoutant ensemble, on aura

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+9\mathrm {K} ^{2}y^{3}+15\mathrm {L} y^{2}+6\mathrm {H} y+7i\mathrm {M} y^{4}+\ldots =0.$

Or, $v$ étant multipliée par $i^{2}$ dans l’équation (D), on rejettera dans la valeur de ${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}$ tous les termes affectés de $i,$ de sorte qu’on aura, en mettant $u$ au lieu de $y^{2}$ et $v$ au lieu de $y^{3},$

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+9\mathrm {K} ^{2}v+15\mathrm {L} u+6\mathrm {H} y=0.$

Nous avons donc, entre les trois variables $y,u,v,$ ces trois équations