49. Supposons maintenant que l’on ait à intégrer l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{3}}}+\mathrm {K} ^{2}y+\mathrm {L} +i\left(\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {M} '{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+i^{2}\left(\mathrm {N} y^{3}+\mathrm {N} 'y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/242094ea52732141df10d3ad36a86d3b74727a03)
on pourra faire disparaître la quantité
de la manière suivante.
Qu’on multiplie l’équation par
et qu’on en prenne l’intégrale, en négligeant les termes affectés de
on aura
![{\displaystyle {\frac {dy^{2}}{dt^{3}}}+\mathrm {K} ^{2}y^{2}+2\mathrm {L} y+\mathrm {H} +i\left({\frac {2\mathrm {M} }{3}}y^{3}+2\mathrm {M} '\int {\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}dy\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e096168d909f05f243df4634b197f813a146ce28)
Or,
![{\displaystyle \int {\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}dy=y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}-2\int ydy{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7584be529053671ca45fd99175bf96a3c1d616c0)
et, en mettant au lieu de
et de
leurs valeurs approchées
et ![{\displaystyle -\mathrm {K} ^{2}y-\mathrm {L} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695f261d5524279713d56d8ff5bef784a01ffa13)
![{\displaystyle \int {\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}dy=-{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{3}}y^{3}-\mathrm {L} y^{2}-\mathrm {H} y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07fce089cfc2bb559e9c3c7c3c4f43e6dec88381)
donc on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\mathrm {K} ^{2}-2i\mathrm {LM} '\right)y^{2}+(2\mathrm {L} -2i\mathrm {HM} ')y+\mathrm {H} +i\mathrm {\left({\frac {2M}{3}}-{\frac {2K^{2}M'}{3}}\right)} y^{3}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29324a41490e28cc5a5b41709be461ca9e917a45)
Substituant donc cette valeur de
dans l’équation proposée, elle deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+\left[\mathrm {K} ^{2}-2i\mathrm {LM} '+i^{2}\mathrm {H\left(2M'^{2}-N'\right)} \right]y+\mathrm {L} -i\mathrm {HM} '\\&+i\mathrm {\left(M-K^{2}M'+2iLM'^{2}\right)} y^{2}+i^{2}\mathrm {\left(N-K^{2}N'-{\frac {2MM'}{3}}+{\frac {2K^{2}M^{2}}{3}}\right)} y^{3}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99576ad708f8805ea2aba41eec21626643f97b05)
laquelle est, comme on le voit, dans le cas de l’équation (A).
Par cette méthode on pourra faire disparaître toutes les puissances paires de
qui se trouveront dans l’équation proposée. À l’égard des puissances impaires de
il est facile de voir qu’elles donneront dans la valeur de
des arcs de cercle ; d’où il s’ensuit que la solution ne pourra avoir lieu que tant que
ne sera pas fort grande, et qu’ainsi il