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DE MAXIMIS ET MINIMIS.

6. Lorsque les variables sont trois, savoir $t,\,u,\,x,$ la différentielle $d^{2}\mathrm {Z}$ prend cette forme

$d^{2}\mathrm {Z} =\mathrm {A} dt^{2}+2\mathrm {B} dtdu+\mathrm {C} du^{2}+2\mathrm {D} dtdx+2\mathrm {E} dudx+\mathrm {F} dx^{2}$

qu’on réduira d’abord à

$\mathrm {A} \left(dt+{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}+{\frac {\mathrm {D} dx}{\mathrm {A} }}\right)^{2}+\mathrm {\left(C-{\frac {B^{2}}{A}}\right)+2\left(E-{\frac {BD}{A}}\right)} dudx+\left(\mathrm {F-{\frac {D^{2}}{A}}} \right)dx^{2}.$

Soit posé

$\mathrm {C-{\frac {B^{2}}{A}}} =a,\quad \mathrm {E-{\frac {BD}{A}}} =b,\quad \mathrm {F-{\frac {D^{2}}{A}}} =c,$

Et on aura

$d^{2}\mathrm {Z} =\mathrm {A} \left(dt+{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}+{\frac {\mathrm {D} dx}{\mathrm {A} }}\right)^{2}+adu^{2}+2bdudx+cdx^{2}\,;$

qu’on opère à présent sur ces trois derniers membres, comme on a fait ci-dessus (4), et toute la différentielle proposée $d^{2}\mathrm {Z}$ deviendra

$\mathrm {A} \left(dt+{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}+{\frac {\mathrm {D} dx}{\mathrm {A} }}\right)^{2}+a\left(du+{\frac {bdx}{a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{a}}\right)dx^{2}\,;$

or, les carrés $\left(dt+{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}+{\frac {\mathrm {D} dx}{\mathrm {A} }}\right)^{2},$ $\left(du+{\frac {bdx}{a}}\right)^{2}$ et $dx^{2}$ étant toujours positifs, toute la différentielle sera de même positive si les coefficients $\mathrm {A} ,$ $a$ et $c-{\frac {b^{2}}{a}}$ ont chacun le signe $+\ ;$ on a donc pour le minimum les conditions suivantes

$\mathrm {A} >0,\quad a>0,\quad ca>b^{2},$

ou, en remettant au lieu de $a,b,c$ leurs valeurs,

$\mathrm {A>0,\quad C-{\frac {B^{2}}{A}}>0,\quad \left(C-{\frac {B^{2}}{A}}\right)\left(F-{\frac {D^{2}}{A}}\right)>\left(E-{\frac {BD}{A}}\right)^{2}} ,$

savoir

$\mathrm {A>0,\quad CA>B^{2}\quad {\text{et}}\quad \left(CA-B^{2}\right)\left(FA-D^{2}\right)>\left(EA-BD\right)^{2}} ,$