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donc

${\begin{aligned}\cos(\varphi -\omega )=&cos(\varphi -\alpha +\alpha -\omega )\\=&\cos(\varphi -\alpha )\cos(\alpha -\omega )-\sin(\varphi -\alpha )\sin(\alpha -\omega )\\=&\left[\cos(\alpha -\omega )\cos(\Phi -{\mathfrak {A}})-{\frac {\sin(\alpha -\omega )}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}\sin(\Phi -{\mathfrak {A}})\right]{\sqrt {1+q^{2}}}\,;\end{aligned}}$

et faisant, pour plus de simplicité,

$\cos(\alpha -\omega )={\mathcal {E}}\cos({\mathfrak {A-B}}),\quad {\frac {\sin(\alpha -\omega )}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}={\mathcal {E}}\sin({\mathfrak {A-B}}),$

ce qui donne

${\mathcal {E}}={\sqrt {\frac {1+\varepsilon ^{2}\cos(\alpha -\omega )^{2}}{1+\varepsilon ^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad \operatorname {tang} ({\mathfrak {A-B}})={\frac {\operatorname {tang} (\alpha -\omega )}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}},$

on aura

$\cos(\varphi -\omega )={\mathcal {E}}\cos(\Phi -{\mathfrak {B}}){\sqrt {1+q^{2}}}\,;$

donc

${\frac {s}{\sqrt {1+q^{2}}}}=\mathrm {\frac {I+J}{D}} +\eta {\mathcal {E}}\cos(\Phi -{\mathfrak {B}}).$

Or $s={\frac {1}{r}},$ et $r{\sqrt {1+q^{2}}}=u$ rayon vecteur de l’orbite réelle ; donc l’équation de cette orbite sera

$u={\frac {1}{\mathrm {\cfrac {I+J}{D}} +\eta {\mathcal {E}}\cos(\Phi -{\mathfrak {B}})}},$

laquelle est visiblement celle d’une ellipse dont $\mathrm {\frac {I+J}{D}}$ est le paramètre et $\eta {\mathcal {E}}$ l’excentricité. À l’égard de la position du grand axe de cette ellipse, il est clair que $\Phi ={\mathfrak {B}}$ donnera le lieu du périhélie, et pour avoir l’angle correspondant $\varphi ,$ que nous nommerons $\beta ,$ on observera que

$\operatorname {tang} (\varphi -\alpha )={\frac {\operatorname {tang} (\Phi -{\mathfrak {A}})}{\sqrt {1+\varepsilon }}},$

de sorte qu’on aura

$\operatorname {tang} (\beta -\alpha )={\frac {\operatorname {tang} ({\mathfrak {B-A}})}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}={\frac {\operatorname {tang} (\omega -\alpha )}{1+\varepsilon ^{2}}}.$