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or les séries ci-dessus donnent, pour ce cas,

${\begin{aligned}{\mathfrak {A}}\ &=1+{\frac {9}{4}}\alpha ^{2}+{\frac {9.25}{4.16}}\alpha ^{4}+{\frac {9.25.49}{4.16.36}}\alpha ^{6}+\ldots ,\\{\frac {\mathfrak {B}}{2}}&={\frac {3}{2}}\alpha +{\frac {9.5}{4.4}}\alpha ^{3}+{\frac {9.25.7}{4.16.6}}\alpha ^{5}+\ldots ,\end{aligned}}$

lesquelles, à cause de $\alpha ={\frac {5}{2}}$ environ, dans la théorie de Jupiter et de Saturne, seront assez convergentes pour qu’on puisse se contenter d’un petit nombre de termes.

Pour faciliter le calcul de ces deux séries, lesquelles peuvent aussi être d’usage dans plusieurs autres occasions, je vais donner ici les logarithmes des différentes puissances de $\alpha$ qui entrent dans les valeurs de ${\mathfrak {A}}$ et de ${\frac {\mathfrak {B}}{2}}.$

${\begin{array}{|l|c|l|c|l|c|}\hline \\&\mathrm {LOGARITHMES} &&\mathrm {LOGARITHMES} &&\mathrm {LOGARITHMES} \\&\mathrm {des} &&\mathrm {des} &&\mathrm {des} \\&\mathrm {coefficients} .&&\mathrm {coefficients} .&&\mathrm {coefficients} .\\\\\hline \alpha &0,1760913&\alpha ^{15}&1,0207661&\alpha ^{29}&1,2880049\\\alpha ^{2}&0,3521825&\alpha ^{16}&1,0470951&\alpha ^{30}&1,3022454\\\alpha ^{3}&0,4490925&\alpha ^{17}&1,0705762&\alpha ^{31}&1,3156093\\\alpha ^{4}&0,5460025&\alpha ^{18}&1,0940573&\alpha ^{32}&1,3289733\\\alpha ^{5}&0,6129493&\alpha ^{19}&1,1152466&\alpha ^{33}&1,3415624\\\alpha ^{6}&0,6798961&\alpha ^{20}&1,1364359&\alpha ^{34}&1,3541515\\\alpha ^{7}&0,73l0486&\alpha ^{21}&1,1557410&\alpha ^{35}&1,3660508\\\alpha ^{8}&0,7822012&\alpha ^{22}&1,1750462&\alpha ^{36}&1,3779500\\\alpha ^{9}&0,8235939&\alpha ^{23}&1,1927749&\alpha ^{37}&1,3892310\\\alpha ^{10}&0,8649865&\alpha ^{24}&1,2105037&\alpha ^{38}&1,4005120\\\alpha ^{11}&0,8997486&\alpha ^{25}&1,2268941&\alpha ^{39}&1,4112359\\\alpha ^{12}&0,9345108&\alpha ^{26}&1,2432845&\alpha ^{40}&1,4219598\\\alpha ^{13}&0,9644740&\alpha ^{27}&1,2585245&\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\alpha ^{14}&0,9944372&\alpha ^{28}&1,2737645&\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\\\hline \end{array}}$

En examinant cette Table il est aisé de voir que les différences des logarithmes forment une progression décroissante ; d’où il s’ensuit que