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Pour le prouver, et déterminer en même temps les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,\mu ,\nu ,\pi ,\ldots ,$ je prends d’abord les différentielles secondes de $\mathrm {y}$ et de $\mathrm {z} \,;$ j’ai

{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {y} }{dt^{2}}}=&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+i\beta \left(2y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+2{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+i\gamma \left(2z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)\\&+i^{2}\delta \left(3y^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+6y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+i^{2}\varepsilon \left(z^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+2zy{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2y{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}+4z{\frac {dydz}{dt^{2}}}\right)\\&+i^{2}\eta \left(2{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+3{\frac {dydz}{dt^{2}}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+z{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+z{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{3}z}{dt^{3}}}+2z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right),\\\\{\frac {d^{2}\mathrm {z} }{dt^{2}}}=&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+i\mu \left(y{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+2{\frac {dzdy}{dt^{2}}}\right)\\&+i\nu \left({\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{3}z}{dt^{3}}}+{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+2{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right)+i^{2}\pi \left(3z^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+6z{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)\\&+i^{2}\rho \left(y^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2zy{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+2z{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+4y{\frac {dzdy}{dt^{2}}}\right)\\&+i^{2}\sigma \left(2{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+3{\frac {dzdy}{dt^{2}}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{3}z}{dt^{3}}}+y{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+2y{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right).\end{aligned}}

Ensuite je substitue à la place de ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}},{\frac {d^{3}z}{dt^{3}}},{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}},{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}$ leurs valeurs tirées des équations $(l)$ et $(m),$ en négligeant les quantités qui seraient affectées de $i^{3},$ ou de $i^{2}\mathrm {n} \,;$ et pour avoir les valeurs de ${\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}$ et ${\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}$ (car les autres se déduisent aisément des équations citées), je multiplie l’équation $(l)$ par $2dy,$ et l’équation $(m)$ par $2dz,$ et ensuite je les intègre, ce qui me donne, en négligeant les quantités de l’ordre de $i^{2}$ et de $i\mathrm {n} ,$ parce que ${\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}$ et ${\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}$ ne se trouvent que dans des termes déjà affectés de $i,$