Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/736

nombre fini de nombres entiers positifs, et moindre qu’un nombre donné, il faudra nécessairement qu’une infinité de ces nombres $\mathrm {Z,Z',Z''} ,\ldots ,$ soient égaux entre eux.

Ainsi l’on aura par ce moyen une infinité de nombres différents à substituer au lieu de $x$ et de $y$ dans la formule $x^{2}-ay^{2},$ de manière qu’elle ait toujours une même valeur positive, et moindre que $\mathrm {\frac {2M}{N}} .$

Si au lieu de substituer à la place de $x$ et de $y$ les nombres $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$ et $\mathrm {N,N',N''} ,\ldots ,$ on y substituait les nombres $m,m',m'',\ldots ,$ et $n,n',n'',\ldots ,$ et qu’on nommât $z,z',z'',\ldots ,$ les valeurs résultantes de $x^{2}-ay^{2},$ on aurait

$z=m^{2}-an^{2},$

ou, en mettant $\left({\frac {m+\delta }{n}}\right)^{2}$ à la place de $a,$

$z=-2m\delta -\delta ^{2},$

d’où l’on voit que $z$ sera négatif, et qu’à cause de $\delta <{\frac {1}{n}}$ on aura

$-z<{\frac {2m}{n}}+1.$

On trouvera de même

$z'=-2m'\delta '-\delta '^{2},$

et par conséquent

$z<0\quad {\text{et}}\quad -z'<{\frac {2m'}{n'}}+1.$

et ainsi de suite à l’infini.

D’où l’on conclura, comme ci-dessus, qu’il y a nécessairement une infinité de ces nombres $m,m',m'',\ldots ,$ et $n,n',n'',\ldots ,$ qui, étant substitués à la place de $x$ et de $y$ dans la formule $x^{2}-ay^{2},$ la rendront égale à un même nombre entier négatif, et compris entre zéro et $-{\frac {2m}{n}}-1.$

4. Nous dénoterons en général par $x,x',x'',x''',\ldots ,$ et par $y,y',y'',y''',\ldots ,$ tous les nombres qui étant substitués dans la formule $x^{2}-ay^{2}$ la rendent égale à un même nombre quelconque entier positif ou négatif,