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Qu’on prenne donc cinq des équations du n^o 4, et qu’on les multiplie ensemble deux à deux pour avoir sept produits différents (on pourrait à la vérité en avoir dix, mais il suffit ici d’en considérer sept), on aura nécessairement par ce moyen ou une équation de cette forme :

$1=p^{2}-aq^{2},$

laquelle résout le problème ; ou au moins deux équations de cette forme :

$\mathrm {A} ^{2}=p^{2}-aq^{2},\qquad \mathrm {A} ^{2}=p'^{2}-aq'^{2}$

($\mathrm {A}$ étant l’un quelconque des facteurs de $\mathrm {R}$), et le problème se résoudra comme dans le n^o 7 ; ou enfin deux équations de la forme

$\mathrm {A^{2}B^{2}} =p^{2}-aq^{2},\qquad \mathrm {A^{2}B^{2}} =p'^{2}-aq'^{2}$

($\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant deux quelconques des quatre facteurs de $\mathrm {R}$) ; et, dans ce dernier cas, on prouvera aisément que les quatre quantités $p,q,p'$ et $q'$ seront premières à $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$

Or, les équations

$\mathrm {A^{2}B^{2}} =p^{2}-aq^{2}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A^{2}B^{2}} =p'^{2}-aq'^{2}$

donnent ces deux-ci :

(G)

$\mathrm {A^{4}B^{4}} =(pp'\pm aqq')^{2}-a(pq'\pm qp')^{2},$

(H)

$\mathrm {A^{2}B^{2}} \left(q'^{2}-q^{2}\right)=(pq'+qp')(pq'-qp').$

Et il faudra, en vertu de l’équation (H), que l’une ou l’autre des quantités $pq'+qp',\ pq'-qp'$ soit divisible par $\mathrm {A^{2}B^{2}} ,$ ou que l’une le soit seulement par $\mathrm {A}$ ou par $\mathrm {B} ,$ et l’autre par $\mathrm {AB} ^{2}$ ou par $\mathrm {A^{2}B} ,$ ou que l’une et l’autre le soient par $\mathrm {AB} \,;$ ou enfin que l’une le soit seulement par $\mathrm {A} ^{2},$ et l’autre par $\mathrm {B} ^{2}\,;$ ce qui donne, comme l’on voit, quatre cas différents.

Dans le premier cas on fera

$pq'\pm qp'=s\mathrm {A^{2}B^{2}} ,$

et l’équation (G) deviendra

$\mathrm {A^{4}B^{4}} =(pp'\pm aqq')^{2}-as^{2}\mathrm {A^{4}B^{4}} \,;$