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équation qu’il s’agit de réduire à la forme de celle-ci :

$1=x^{2}-ay^{2}.$

Pour cela je remarque que

$p^{2}-aq^{2}=\left(p+q{\sqrt {a}}\right)\left(p-q{\sqrt {a}}\right),$

de sorte que l’on aura

$\left(p^{2}-aq^{2}\right)^{m}=\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}.$

Or

${\begin{aligned}\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}=&p^{m}+mp^{m-1}q{\sqrt {a}}+{\frac {m(m-1)}{2}}p^{m-2}q^{2}a\\&+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}p^{m-3}q^{3}a{\sqrt {a}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

donc, si l’on fait

${\begin{aligned}x=&p^{m}+{\frac {m(m-1)}{2}}p^{m-2}q^{2}a+{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)}{2.3.4}}p^{m-4}q^{4}a^{2}+\ldots ,\\y=&mp^{m-1}q+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}p^{m-3}q^{3}a+{\frac {m(m-1)\ldots (m-4)}{2.3.4.5}}p^{m-5}q^{5}a^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

on aura

$\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}=x+y{\sqrt {a}}\,;$

et, prenant le radical ${\sqrt {a}}$ en $-,$ on aura de même

$\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}=x-y{\sqrt {a}}\,;$

donc

$\left(p^{2}-aq^{2}\right)^{m}=\left(x-y{\sqrt {a}}\right)\left(x-y{\sqrt {a}}\right)=x^{2}-ay^{2}\,;$

de sorte que l’on aura en général

$x^{2}-ay^{2}=1,$

en prenant pour $m$ un nombre quelconque entier et positif.

Au reste, les équations

$\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}=x+y{\sqrt {a}}\quad {\text{et}}\quad \left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}=x-y{\sqrt {a}}$