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Donc : 1^o si $a$ est divisible par $m,$ $x-p$ et $y$ le seront aussi ; 2^o si $a$ n’est point divisible par $m,$ comme $a^{m}-a$ est nécessairement divisible par $m,$ il faudra que $a^{m-1}-1$ le soit aussi ; donc, à cause que $m$ est premier, il faudra que l’un ou l’autre des facteurs de $a^{m-1}-1,$ savoir $a^{\frac {m-1}{2}}+1$ et $a^{\frac {m-1}{2}}-1,$ soit divisible par $m.$

Soit d’abord $a^{\frac {m-1}{2}}+1$ divisible par $m,$ et $qa^{\frac {m-1}{2}}+q$ le sera aussi ; donc $x-p$ et $y+q$ seront divisibles par $m.$

Soit ensuite $a^{\frac {m-1}{2}}-1$ divisible par $m,$ $qa^{\frac {m-1}{2}}-q$ le sera aussi ; donc $x-p$ et $y-q$ seront divisibles par $m.$

Or, en multipliant ensemble les deux équations

$1=p^{2}-aq^{2}\quad {\text{et}}\quad 1=x^{2}-ay^{2},$

on a celle-ci :

$1=x'^{2}-ay'^{2},$

dans laquelle

$x'=px\pm aqy\quad {\text{et}}\quad y'=py\pm qx\,;$

ou bien, en substituant pour $x$ et $y$ leurs valeurs,

${\begin{aligned}x'=&{\frac {\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}+\left(p\mp q{\sqrt {a}}\right)\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2}},\\y'=&{\frac {\left(p\pm q{\sqrt {a}}\right)\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m}-\left(p\mp q{\sqrt {a}}\right)\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m}}{2{\sqrt {a}}}},\end{aligned}}$

savoir, à cause de $p^{2}-aq^{2}=1,$

${\begin{aligned}x'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m\pm 1}+\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m\pm 1}}{2}},\\y'=&{\frac {\left(p+q{\sqrt {a}}\right)^{m\pm 1}-\left(p-q{\sqrt {a}}\right)^{m\pm 1}}{2{\sqrt {a}}}}.\\\end{aligned}}$

Donc, en premier lieu, si $a^{\frac {m-1}{2}}+1$ est divisible par $m,$ en sorte que $x-p$ et $y+q$ le soient aussi, et qu’on prenne, dans les expressions de