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SUR L’INTÉGRATION

l’on parviendra aux mêmes équations qu’on a trouvées (6), et la quantité $a$ sera déterminée par l’équation

$a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\mathrm {B} a^{3}+\mathrm {C} a_{2}+\mathrm {D} a+\mathrm {E} =0,$

dont on a supposé les racines $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots .$ Donc, si l’on fait

$y_{1}+(\mathrm {A} +a)p_{1}+(\mathrm {B} +b)q_{1}+(\mathrm {C} +c)r_{1}+(\mathrm {D} +d)s_{1}=z_{1},$

l’équation se réduira à

$z_{1}-az_{2}=\mathrm {X} ,$

qui, par une intégration semblable à celle du n^o 3, donnera

$z_{m}=a^{m}\left({\text{const.}}+\int {\frac {\mathrm {X} }{a^{m+1}}}\right),$

où $m$ exprimera le quantième du terme $z_{m}$ dans la suite des $z.$ Or, comme pour $a$ l’on peut substituer chacune des cinq racines $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ de l’équation $a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\ldots =0,$ on aura de même cinq valeurs différentes de $z_{m}$ que nous exprimerons comme ci-dessus par $\mathrm {Z_{1},Z_{2},Z_{3}} ,\ldots \,:$ donc, à cause que

$z_{m}=y_{m}+(\mathrm {A} +a)p_{m}+(\mathrm {B} +b)q_{m}+(\mathrm {C} +c)r_{m}+(\mathrm {D} +d)s_{m},$

on parviendra, en chassant les lettres $p_{m},q_{m},\ldots ,$ à la formule

$y_{m}=\mathrm {FZ_{1}+GZ_{2}+HZ_{3}+IZ_{4}+KZ_{5}} ,$

où $\mathrm {F,G,H} ,\ldots$ sont des constantes qu’on doit déterminer par la comparaison d’autant de termes donnés dans la suite des $y.$

9. Si $\mathrm {X}$ est constant, par ce qu’on a démontré (4), la somme exprimée par $\int {\frac {\mathrm {X} }{a^{m+1}}}$ deviendra égale à $\mathrm {X} {\frac {a^{m}-1}{a^{m}(a-1)}},$ et nommant $\mathrm {L}$ la constante ajoutée à cette intégration, on aura finalement

$\mathrm {Z} =\mathrm {L} a^{m}+\mathrm {X} {\frac {a^{m}-1}{a^{m}(a-1)}},$