COORDONNÉES
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qui peut être représentée par une équation telle que /’(.r, y, ;.) = 0, et, réciproquement, tout point dont les coordonnées vérifient cette équation appartient à la surface S. C’est pourquoi l’on dit que l’équation f (x, y, z) =0 estl’équation de la surface. Il est évident que les propriétés d’une surlace dépendent intimement des propriétés analytiques de son équation. Une courbe peut être regardée comme l’intersection de deux surfaces, et se représente en conséquence par l’ensemble de deux équations. Mais, s’il s’agit d’une courbe plane, on peut, en faisant coïncider son plan avec l’une des faces du trièdre fondamental, faire en sorte que l’une des coordonnées, a par exemple, soit constamment nulle, et alors la courbe est représentée, dans son plan, par une seule équation 9 (x, g) = 0, ne renfermant plus que deux coordonnées Les arêtes du triédre fondamental constituent les axes des coordonnées. Si le trièdre a ses faces orthogonales, on dit que les axes sont rectangulaires. Dans le cas contraire, on a un système de coordonnées obliques. Quand les axes sont obliques, il est d’usage de prendre pour coordonnées, au lieu des dislances normales aux trois plans fixes, les distances obliques mesurées, pour chaque plan, parallèlement à la ligne d’intersection des deux autres.
Coordonnées homogènes. — Le système de coordonnées que nous venons de définir est le plus naturel de tous. Mais, dans bien des cas, il est plus avantageux d’employer d’autres systèmes dont voici les principaux. Au lieu d’un trièdre, considérons un tétraèdre quelconque et soient X, Y, Z, T les distances, positives ou négatives d’un point de l’espace aux quatre faces, distances multipliées, si l’on veut, par des facteurs constants arbitraires. Ce sont les coordonnées tétraédriques du point : le tétraèdre prend le nom de tétraèdre de référence. Il importe de remarquer que les quatre coordonnées ainsi définies sont nécessairement liées par une certaine relation. On obtient sans peine cette relation en supposant le point placé à l’intérieur du tétraèdre et écrivant que la somme des quatre tétraèdres ayant pour sommet commun le point considéré et pour bases les quatre faces du tétraèdre de référence donne un volume égal au volume de ce dernier. On trouve un résultat de la forme aX + bY -+- ci -+- dl = A,a,b,c,d désignant des constantes. Grâce à cet’e identité, on peut remplacer chaque coordonnée cartésienne telle que x par . , . , )«X + «Y+pZ + (/T
un rapport de la forme — ^ r-^ f —r, -j-=,. Toutes les équations sont alors homogènes par rapport à X, Y, Z, T, et c’est là le principal avantage de l’emploi des coordonnées tétraédriques ; telle est aussi la raison pour laquelle elles sont souvent appelées coordonnées linéaires homogènes. En raison de cette homogénéité, les coordonnées n’interviennent plus que par leurs rapports et il devient inutile de conserver entre elles une relation identique. Dans le cas du plan, on obtient de même des coordonnées trilinéaires, homogènes , en rapportant les points de ce plan aux trois côtés d’un triangle, qui est dit triangle de référence. Les cordonnées trilinéaires sont aussi appelées triangulaires ou trilatères. Si l’on suppose que l’une des faces de tétraèdre, ou l’un des côtés du triangle, s’éloigne à l’infini, on retrouve les coordonnées cartésiennes. Au lieu de quatre coordonnées, on peut en employer un plus grand nombre : on a dans ce cas des coordonnées multilinéaires rapportées à un polyèdre de référence et liées par un certain nombre d’identités ; mais l’usage de pareils systèmes ne convient que dans des cas tout spéciaux. Lorsqu’on considère en particulier un point assujetti à rester sur une droite fixe, sa position peut être définie par deux coordonnées homogènes seulement, qui sont deux nombres proportionnels aux dislances du point à deux points fixes pris sur la droite, ou à ces dislances multipliées par des facteurs constants : ce sont, suivant l’expression de Clebsch, les coordonnées binaires d’un point de la droite (V. Binaire [Forme]). Coordonnées polaires. — Dans le plan, les coordonnées polaires d’un point M sont : la distance OM=p de ce point au pôle ou point fixe 0, distance appelée rayon vecteur, et l’angle polaire 0, que forme OM avec une droite fixe O A, appelée l’axe polaire. Pour passer au cas de l’espace, il sutlit d’imaginer que le plan mené par M et OA puisse tourner autour de OA, et d’introduire une troisième coordonnée, savoir l’angle 9 que forme ce plan avec un plan fixe contenant OA. Les coordonnées polaires dans l’espace se nomment aussi coordonnées sphériques. Coordonnées semi-polaires ou cylindriques. — On considère un plan fixe P et un point fixe O de ce plan. Un point de l’espace est déterminé par sa distance z au plan et par les coordonnées polaires, p et 8, de sa projection sur le plan, le point O étant pris pour pôle. Systèmes divers particuliers au cas du plan. En coordonnées bipolaires, un point du [dan est déterminé par ses distances à deux points fixes. Si l’un des points fixes est remplacé par une droite fixe, on a le système pôle directrice. Si les points fixes sont en nombre supérieur à deux, on a les coordonnées multipolaires, qui doivent naturellement vérifier certaines identités. En coordonnées biangulaires, un point est déterminé par les directions des rayons vecteurs qui le joignent à deux points fixes. Un système fort intéressant, dû à M. Darboux, consiste à considérer les deux tangentes menées d’un point variable à une conique fixe, et à prendre pour coordonnées du point deux paramètres déterminant la position de ces tangentes. En coordonnées circulaires, on définit la position d’un point par les quantités imaginaires %z= x--iy, z’ = x — iy, x et y étant les coordonnées rectangulaires. Les droites imaginaires z = 0, z’ = passent par les points circulaires à l’infini ; de là le nom de ce système.
Coordonnées pentasphériques. — Ces coordonnées ont été imaginées par M. Darboux, qui en a fait un usage remarquable dans la théorie des cyclides et dans l’étude des lignes de courbure. Ce sont des quantités proportionnelles aux puissances d’un point par rapport à cinq sphères fixes, orthogonales deux à deux, chacune de ces puissances étant divisée par le rayon de la sphère correspondante. La somme des carrés de ces cinq coordonnées est égale à zéro. Coordonnées tangentielles. — Un plan, aussi bien qu’un point, est déterminé dans l’espace par trois quantités, par exemple par les inverses u, v, w des trois longueurs qu’il intercepte sur trois axes fixes à partir de leur point de concours. Une équation quelconque f{u, v,w) =0 peut alors être regardée comme définissant une infinité de plans qui enveloppent une certaine surface S : on dit que f= est l’équation tangentielle de cette surface. Si la fonction /’est linéaire par rapport à u, v, w, l’équation représente un point unique, et telle est la raison pour laquelle on prend comme coordonnées tangentielles u, v, w les inverses des longueurs interceptées sur les axes, au lieu de ces longueurs elles-mêmes. Aux coordonnées tangentielles dans l’espace se rattache le système de coordonnées dû à M. Ossian Bonnet (V. ce nom). D’une manière semblable, en géométrie plane, une droite est représentée par deux coordonnées tangentielles u, v, qu’on appelle souvent des coordonnées lignes par opposition aux coordonnées points précédemment envisagées. Toute équation f(u, v) = est l’équation tangentielle d’une courbe plane. Il existe des coordonnées tangentielles homogènes correspondant, dans l’espace, aux coordonnées tétraédriques : ce sont des quantités proportionnelles aux distances d’un plan variable aux quatre sommets d’un tétraèdre. Si l’une des faces du tétraèdre s’éloigne à l’infini, on retrouve les coordonnées tangentielles ordinaires. Inversement, pour passer des coordonnées tangentielles ordinaires aux coordonnées tangentielles homogènes, on remarque que la distance d’un plan (u, v, w) au point dont l’équation est : a u + bv + c w + d =
