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MÉCANIQUE CÉLESTE.
bres des équations (B) en fonctions de
et
et de leurs différentielles. Mais on simplifiera considérablement le calcul, en observant que la position des trois axes principaux dépend de trois arbitraires, que l’on peut toujours déterminer de manière à satisfaire aux trois équations
![{\displaystyle \mathrm {S} x''y''dm=0,\quad \mathrm {S} x''z''dm=0,\quad \mathrm {S} y''z''dm=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d534768e7c6da6ed2a15885ca821162360001913)
Soit alors
![{\displaystyle \mathrm {S} (y''^{2}+z''^{2})dm=\mathrm {A} ,\quad \mathrm {S} (x''^{2}+z''^{2})dm=\mathrm {B} ,\quad \mathrm {S} (x''^{2}+y''^{2})dm=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efeccb8b4970aebd88e88122cf031103ee85d5b4)
et faisons, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&d\varphi -d\psi \cos \theta =pdt,\\&d\psi \sin \theta \sin \varphi -d\theta \cos \varphi =qdt,\\&d\psi \sin \theta \cos \varphi +d\theta \sin \varphi =rdt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079f0387fae40abdddc261081327e8d6506d3e51)
Les équations (B) se changeront, après toutes les réductions, dans les trois suivantes
(C)
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&\mathrm {A} q\sin \theta \sin \varphi +\mathrm {B} r\sin \theta \cos \varphi -\mathrm {C} p\cos \theta =-\mathrm {N} ,\\&\cos \psi (\mathrm {A} q\cos \theta \sin \varphi +\mathrm {B} r\cos \theta \cos \varphi +\mathrm {C} p\sin \theta )\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\sin \psi (\mathrm {B} r\sin \varphi -\mathrm {A} q\cos \varphi )=-\mathrm {N} ',\\&\cos \psi (\mathrm {B} r\sin \varphi -\mathrm {A} q\cos \varphi )\\&\qquad -\sin \psi (\mathrm {A} q\cos \theta \sin \varphi +\mathrm {B} r\cos \theta \cos \varphi +\mathrm {C} p\sin \theta )=-\mathrm {N} ''.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d39b25ec13bb12f16754904594f075c971c0ad)
Ces trois équations donnent, en les différentiant, et en supposant
après les différentiations, ce qui revient à prendre l’axe des
infiniment près de la ligne d’intersection du plan des
et des
avec celui des
et des ![{\displaystyle y'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8172ec5a6b1f8aa18ec8442dac39d61552a70d22)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\theta \cos \theta \cdot (\mathrm {B} r\cos \varphi +\mathrm {A} q\sin \varphi )+\sin \theta \cdot d(\mathrm {B} r\cos \varphi +\mathrm {A} q\sin \varphi )\ \ \quad \qquad &\\-d(\mathrm {C} p\sin \theta )=-d\mathrm {N} ,&\\d\psi (\mathrm {B} r\sin \varphi -\mathrm {A} q\cos \varphi )-d\theta \sin \theta \cdot d(\mathrm {B} r\cos \varphi +\mathrm {A} q\sin \varphi )\qquad \qquad \quad &\\+\cos \theta \cdot d(\mathrm {B} r\cos \varphi +\mathrm {A} q\sin \varphi )+d(\mathrm {C} p\sin \theta )=-d\mathrm {N'} ,&\\d(\mathrm {B} r\sin \varphi -\mathrm {A} q\cos \varphi )-d\psi \cos \theta \cdot (\mathrm {B} r\cos \varphi +\mathrm {A} q\sin \varphi )\qquad \qquad \qquad &\\-\mathrm {C} pd\psi \sin \theta =-d\mathrm {N''} .&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6fc6a2a3d32bc44e1bce4265e8e59a97025177)
Si l’on fait
![{\displaystyle \mathrm {C} p=p',\mathrm {A} q=q',\mathrm {B} r=r',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665b2743daed3fabe46545ce17f4d9ef7ecaf564)