droite, multipliées respectivement par leurs masses, et en divisant cette somme par la somme des masses. On a vu de plus, dans le même Livre, que l’action mutuelle des corps liés entre eux d’une manière quelconque n’altère point le mouvement du centre de gravité du système, et, par le no 8, l’attraction mutuelle des corps n’influe point sur ce mouvement ; il suffit donc, dans la recherche des forces qui animent le centre de gravité du système, d’avoir égard à l’action du corps
étranger à ce système.
L’action de
sur
, décomposée parallèlement à l’axe des
et en sens contraire de leur origine, est
la force entière qui sollicite parallèlement à cette droite le centre de gravité du système des corps
est donc
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {M} \Sigma {\frac {mx}{r^{3}}}}{\Sigma m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680b9dc887919290cc426e5e187fe5c13406ac6b)
En substituant au lieu de
et de
leurs valeurs, on a
![{\displaystyle {\frac {x}{r^{3}}}={\frac {\mathrm {X} +x_{1}}{\left[\left(\mathrm {X} +x_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm {Y} +y_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm {Z} +z_{1}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f5cb501b79a626146aad9c5081f2c4d0d5c605)
Si l’on néglige les quantités très-petites du second ordre, c’est-à-dire les carrés et les produits des variables
que l’on désigne par
la distance
du centre de gravité du système au corps
on aura
![{\displaystyle {\frac {x}{r^{3}}}={\frac {X}{\mathrm {R} ^{3}}}+{\frac {x_{1}}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\frac {3X\left(Xx_{1}+Yy_{1}+Zz_{1}+\right)}{R^{5}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f98b9b090cac0ac2af3f90c9b1294a88f877dc)
En marquant successivement d’un trait, de deux traits, etc., dans le second membre de cette équation, les lettres
on aura les valeurs de
mais on a, par la nature du centre de gravité,
![{\displaystyle 0=\Sigma mx_{1},\qquad 0=\Sigma my_{1},\qquad 0=\Sigma mz_{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff3a37695ffbba94faf58eb7d57d898d942e783)