ces variables dans une autre et réciproquement, on peut supposer
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x^{(1)}&=a^{(1)}x^{n-i+1}&+b^{(1)}x^{n-i+2}&+\ldots +h^{(1)}x^{(n)},\\x^{(2)}&=a^{(2)}x^{n-i+1}&+b^{(2)}x^{n-i+2}&+\ldots +h^{(2)}x^{(n)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\x^{(n-i)}&=a^{(n-i)}x^{n-i+1}&+b^{(n-i)}x^{n-i+2}&+\ldots +h^{(n-i)}x^{(n)},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dafb9314d5387b792b09a5e9a367ed20d83776b)
étant des arbitraires dont le nombre est
Il est clair que ces valeurs satisfont au système proposé d’^s équations différentielles ; de plus, elles réduisent ces équations à
équations différentielles entre les
variables
Leurs intégrales introduiront
nouvelles arbitraires, qui, réunies aux
précédentes, formeront les in arbitraires que doit donner l’intégration des équations différentielles proposées.
Si l’on applique ce théorème aux équations (O), on voit que
et
étant deux arbitraires. Cette équation est celle d’un plan passant par l’origine des coordonnées : ainsi l’orbite de
est tout entière dans un même plan.
Les équations (O) donnent
(O)
|
|
|
Or, en différentiant deux fois de suite l’équation
on a
![{\displaystyle rd^{3}r+3drd^{2}r=xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z++3\left(dxd^{2}x+dyd^{2}y+dzd^{2}z\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e222c22fdc27662d026209e5c3f70fd0f9751241)
et par conséquent
![{\displaystyle d\left(r^{3}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d4de49d8056f9b7d87b688f6b73e5fc3521734)
![{\displaystyle r^{2}\left(x{\frac {d^{3}x}{dt^{2}}}+y{\frac {d^{3}y}{dt^{2}}}+z{\frac {d^{3}z}{dt^{2}}}\right)+3r^{2}\left(dx{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+dy{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+dz{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0adb5bc1861bf9ab3cddab67e7c90b644989f641)
En substituant dans le second membre de cette équation, au lieu de