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observation, à la troisième, etc., comparées toutes à la première observation ; on formera les équations

${\begin{aligned}&(m\ \ -n\ \ )u+(m\ \ -p\ \ )t=m,\\&(m'\,-n'\,)u+(m'\,-p'\ )t=m',\\&(m''-n'')u+(m''-p'')t=m'',\end{aligned}}$

etc.

En combinant ensuite ces équations de la manière la plus avantageuse pour déterminer $u$ et $t$, on aura les corrections de la distance périhélie et de l’instant du passage au périhélie, fondées sur l’ensemble de ces observations. On en conclura les valeurs de ${\text{ϐ,ϐ',ϐ''}},\ldots \varpi ,\varpi ',\varpi '',\ldots$ et l’on aura

${\begin{aligned}\operatorname {tang} j&={\frac {\operatorname {tang} \varpi (\sin {\text{ϐ}}'+\sin {\text{ϐ}}''+\ldots )-\sin {\text{ϐ}}(\operatorname {tang} \varpi '+\operatorname {tang} \varpi ''+\ldots )}{\operatorname {tang} \varpi (\cos {\text{ϐ}}'+\cos {\text{ϐ}}''+\ldots )-\cos {\text{ϐ}}(\operatorname {tang} \varpi '+\operatorname {tang} \varpi ''+\ldots )}},\\\\\operatorname {tang} \varphi &={\frac {\operatorname {tang} \varpi '+\operatorname {tang} \varpi ''+\ldots }{\sin({\text{ϐ}}'-j)+\sin({\text{ϐ}}''-j)+\ldots }}.\end{aligned}}$

38. Il existe un cas, à la vérité fort rare, dans lequel l’orbite d’une comète peut être déterminée d’une manière rigoureuse et simple : c’est le cas où la comète a été observée dans ses deux nœuds. La droite qui joint ses deux positions observées passe alors par le centre du Soleil, et se confond avec la ligne des nœuds. La longueur de cette droite est déterminée par le temps écoulé entre les deux observations ; en nommant ${\rm {T}}$ ce temps, réduit en décimales de jour, et en désignant par $c$ la droite dont il s’agit, on aura, par le n^o 27,

$c={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{\frac {{\rm {T}}^{2}}{\left(9^{j}{,}688726\right)^{2}}}}.$

Soit maintenant ϐ la longitude héliocentrique de la comète au moment de la première observation ; soient $r$ son rayon vecteur, $\rho$ sa distance à la

Terre, et $\alpha$ sa longitude géocentrique. Soient encore ${\rm {R}}$ le rayon de l’orbe terrestre au même instant, et ${\rm {E}}$ la longitude correspondante du Soleil ; on aura

${\begin{aligned}r\sin {\text{ϐ}}&=p\sin \alpha -{\rm {R\sin E,}}\\r\cos {\text{ϐ}}&=p\cos \alpha -{\rm {R\cos E.}}\end{aligned}}$