Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de
leurs valeurs
on aura une équation différentielle de l’ordre
sans arbitraires, ce qui est impossible, à moins que cette équation ne soit identiquement nulle. La fonction
![{\displaystyle \delta \varphi -dt({\rm {SP+S'P'+\ldots }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8b2516f880bf914980ca3e547d61dd24647694)
devient donc identiquement nulle, en vertu des équations
et, comme ces équations ont encore lieu lorsque les paramètres
sont variables, il est visible que, dans ce cas, la fonction précédente est encore identiquement nulle ; l’équation (t) deviendra donc
(x)
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On voit ainsi que, pour différentier l’équation
il suffit de faire varier dans
les paramètres
et les différences
et de substituer, après les différentiations,
au lieu des quantités ![{\displaystyle {\frac {d^{i}y}{dt^{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a32c12c539b1009c925c2b0c24fbcf900f9f52a)
![{\displaystyle {\frac {d^{i}y'}{dt^{i}}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a60e7c9a9b1e134296c3385b9a87740f47d19a)
Soit
une équation finie entre
et la variable
si l’on désigne par
les différences successives de
prises en regardant
comme constants, on aura, par ce qui précède, dans le cas même où
sont variables, les équations suivantes
![{\displaystyle \psi =0,\quad \delta \psi =0,\quad \delta ^{2}\psi =0,\ldots ,\delta ^{i-1}\psi =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029456a378d20f82692766889670c138b542c142)
en changeant donc successivement, dans l’équation (x), la fonction
en
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&0={\frac {\partial \psi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \psi }{\partial c'}}dc'+\ldots \\\\&0={\frac {\partial \delta \psi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \delta \psi }{\partial c'}}dc'+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&0={\frac {\partial \delta ^{i-1}\psi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \delta ^{i-1}\psi }{\partial c'}}dc'+\ldots -\alpha dt\left(\mathrm {Q} {\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathrm {Q} '{\frac {\partial \psi }{\partial y'}}+\ldots \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403acd6c29f3b3b651956b8135db2d1edba4e585)
Ainsi, les équations
étant supposées être les
inté-