Reprenons l’équation (R) du numéro précédent, en y faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\rm {Q}}=2\int d{\rm {R}}+r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6114bef249ae7bdc93ea4f550aff26a627288b24)
elle devient ainsi
(R')
|
|
|
Dans le cas du mouvement elliptique, où
est, par le no 22, fonction de
étant l’excentricité de l’orbite et
étant l’anomalie moyenne de la planète
Soit
et supposons
on aura
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+n^{2}u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedde68a3bafa5bc891f0735b3daf22009301912)
Dans le cas du mouvement troublé, nous pouvons supposer encore
mais
ne sera plus égal à
il sera donné par l’équation différentielle précédente augmentée d’un terme dépendant des forces perturbatrices. Pour déterminer ce terme, nous observerons que, si l’on fait
on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+n^{2}u={\frac {d^{2}.r^{2}}{dt^{2}}}\psi '\left(r^{2}\right)+{\frac {4r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}\psi ''\left(r^{2}\right)+n^{2}\psi \left(r^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d0350a8ada90e146d4b6d589fbc3c517e4344e)
étant la différentielle de
divisée par
et
étant la différentielle de
divisée par
L’équation (R’) donne
égal à une fonction de
plus à une fonction dépendante de la force perturbatrice. Si l’on multiplie cette équation par
et qu’ensuite on l’intègre, on aura
égal à une fonction de
plus à une fonction dépendante de la force perturbatrice. En substituant ces valeurs de
et de
dans l’expression précédente de
la fonction de
indépendante de la force perturbatrice disparaîtra d’elle-même, puisqu’elle est identiquement nulle lorsque cette force est nulle ; on