et alors les valeurs de
et de
sont les mêmes, lorsque l’on considère l’action de
sur
et celle de
sur
Déterminons ces valeurs.
On a, par le no 22 du Livre II, en ne portant la précision que jusqu’aux troisièmes puissances des excentricités inclusivement,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {r}{a}}=&1+{\frac {1}{2}}e^{2}-\left(e-{\frac {3}{8}}e^{3}\right)\cos(nt+\varepsilon -\varpi )-{\frac {1}{2}}e^{2}\cos(2nt+2\varepsilon -2\varpi )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {3}{8}}e^{3}\cos(3nt+3\varepsilon -3\varpi ),\\v=&nt+\varepsilon +\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin(nt+\varepsilon -\varpi )+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin(2nt+2\varepsilon -2\varpi )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {13}{12}}e^{3}\sin(3nt+3\varepsilon -3\varpi ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab4fa5da63118e3c05d787a9efc54c40d8c2731)
Cela posé, si l’on développe
suivant les termes dépendants de l’angle
on aura une expression de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {R}}&={\rm {M}}^{(0)}e'^{3}\ \cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -3\varpi ')\\&+{\rm {M}}^{(1)}e'^{2}e\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -2\varpi '-\varpi )\\&+{\rm {M}}^{(2)}e'e^{2}\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi '-2\varpi )\\&+{\rm {M}}^{(3)}\ \ e^{3}\ \cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -3\varpi )\\&+{\rm {M}}^{(4)}e'\gamma ^{2}\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi '-2\Pi )\\&+{\rm {M}}^{(5)}e\ \gamma ^{2}\cos(5n't-2nt+5\varepsilon '-2\varepsilon -\varpi '-2\Pi ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526b3e2a5ecd90c0f3d2fb52993a2c0cfe0256d1)
et l’on trouvera, après toutes les réductions,
![{\displaystyle {\begin{aligned}a'{\rm {M}}^{(0)}&=-{\frac {m'}{48}}\left(389b_{\frac {1}{2}}^{(2)}+201\alpha {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(2)}}{d\alpha }}+27\alpha ^{2}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(2)}}{d\alpha ^{2}}}+\alpha ^{3}{\frac {d^{3}b_{\frac {1}{2}}^{(2)}}{d\alpha ^{3}}}\right),\\\\a'{\rm {M}}^{(1)}&=\ \ {\frac {m'}{16}}\,\left(402b_{\frac {1}{2}}^{(3)}+193\alpha {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(3)}}{d\alpha }}+26\alpha ^{2}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(3)}}{d\alpha ^{2}}}+\alpha ^{3}{\frac {d^{3}b_{\frac {1}{2}}^{(3)}}{d\alpha ^{3}}}\right),\\\\a'{\rm {M}}^{(2)}&=-{\frac {m'}{16}}\,\left(396b_{\frac {1}{2}}^{(4)}+184\alpha {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(4)}}{d\alpha }}+25\alpha ^{2}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(4)}}{d\alpha ^{2}}}+\alpha ^{3}{\frac {d^{3}b_{\frac {1}{2}}^{(4)}}{d\alpha ^{3}}}\right),\\\\a'{\rm {M}}^{(3)}&=\quad {\frac {m'}{48}}\left(380b_{\frac {1}{2}}^{(5)}+174\alpha {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(5)}}{d\alpha }}+24\alpha ^{2}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(5)}}{d\alpha ^{2}}}+\alpha ^{3}{\frac {d^{3}b_{\frac {1}{2}}^{(5)}}{d\alpha ^{3}}}\right),\\\\a'{\rm {M}}^{(4)}&=-{\frac {m'\alpha }{16}}\left(10b_{\frac {3}{2}}^{(3)}+\alpha {\frac {db_{\frac {3}{2}}^{(3)}}{d\alpha }}\right),\\\\a'{\rm {M}}^{(5)}&=\,\ \ {\frac {m'\alpha }{16}}\left(7b_{\frac {3}{2}}^{(4)}+\alpha {\frac {db_{\frac {3}{2}}^{(4)}}{d\alpha }}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abad4c1ddfa5b77b73226c258062c600b49f394)