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à chaque tirage, ou en extrait une que l’on remplace par une boule noire ; on demande la probabilité que, après $r$ tirages, le nombre des boules blanches sera $x.$ 

 

 

La solution du problème dépend d’une équation linéaire aux différences finies partielles du premier ordre, à coefficients variables. Réduction de cette équation à une équation aux différences partielles infiniment petites. Intégration de cette dernière équation. Application de la solution au cas où l’urne est remplie primitivement de cette manière : on projette un prisme droit dont la base, étant un polygone régulier de $p+q$ côtés, est assez étroite pour que le prisme ne retombe jamais sur elle ; sur les $p+q$ faces latérales, $p$ sont blanches et $q$ sont noires et l’on met, dans l’urne $\mathrm {A} ,$ à chaque projection, une boule de la couleur de la face sur laquelle le prisme retombe.  

 

Deux urnes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ renferment chacune un très grand nombre $n$ de boules blanches et noires, le nombre des blanches étant égal à celui des noires dans la totalité $2n$ des boules ; on tire en même temps une boule de chaque urne, et l’on remet dans une urne la boule extraite de l’autre. En répétant un nombre quelconque $r$ de fois cette opération, on demande la probabilité qu’il y aura $x$ boules blanches dans l’urne $\mathrm {A} .$   

 

Le problème dépend d’une équation linéaire aux différences finies partielles du second ordre, à coefficients variables. Réduction de cette équation à une équation aux différences partielles infiniment petites du second ordre. Intégration de cette dernière équation au moyen d’une intégrale définie. Développement de cette intégrale en séries. Détermination des constantes de la série au moyen de sa valeur initiale. Théorèmes analytiques relatifs à cet objet. Application de la solution au cas où l’urne $A$ est primitivement remplie, comme dans le problème précédent. Valeur moyenne des boules blanches de chaque urne, après r tirages. Expression générale de cette valeur, dans le cas où l’on a un nombre $e$ d’urnes disposées circulairement et renfermant chacune un grand nombre $n$ de boules, les unes blanches et les autres noires, chaque tirage consistant à extraire en même temps une boule de chaque urne et à la remettre dans la suivante, en partant de l’une d’elles, dans un sens déterminé. N^o 17  

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Chapitre IV. — De la probabilité des erreurs des résultats moyens d’un grand nombre d’observations et des résultats moyens les plus avantageux  

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Déterminer la probabilité que la somme des erreurs d’un grand nombre d’observations sera comprise dans des limites données, en supposant que la loi de possibilité des erreurs est connue, et la même pour chaque observation, et que les erreurs négatives sont aussi possibles que les erreurs positives correspondantes. Expression générale de cette probabilité. N^o 18  

 309

Déterminer, dans les suppositions précédentes, la probabilité que la somme des erreurs d’un grand nombre d’observations ou la somme de leurs carrés, de leurs cubes, etc., sera comprise dans des limites données, abstraction faite du signe. Expression générale de cette probabilité et de la somme la plus probable. N^o 19  

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Un élément étant connu à fort peu près, déterminer sa correction par l’ensemble d’un grand nombre d’observations. Formation des équations de condition. En les disposant de manière que, dans chacune d’elles, le coefficient de la correction de l’élément ait le même signe, et les ajoutant, on forme une équation finale qui donne