Aller au contenu

Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/199

La bibliothèque libre.
Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.
11
LIVRE PREMIER.

Généralement, si l’on considère comme une fonction de étant une fonction de telle que le coefficient de dans soit on aura en substituant, dans au lieu de en développant ensuite suivant les puissances de et en appliquant à la caractéristique les exposants de c’est-à-dire en écrivant au lieu de au lieu de etc., et en multipliant par les termes indépendants de

Le développement de par une série ordonnée suivant les variations successives etc., se réduit donc à la formation de la fonction génératrice de au développement de cette fonction suivant les puissances d’une fonction donnée ; enfin, au retour de la fonction génératrice ainsi développée, aux coefficients variables correspondants, les exposants des puissances du développement de la fonction génératrice devenant ceux de la caractéristique de ces coefficients. On voit ainsi l’ana\logie des puissances avec les différences, ou avec toute autre combinaison des coefficients variables consécutifs. Le passage de ces coefficients à leurs fonctions génératrices, et le retour de ces fonctions développées aux coefficients constituent le Calcul des fonctions génératrices. Les applications suivantes en feront connaître l’esprit et les avantages.

De l’interpolation des suites à une variable, et de l’intégration des équations différentielles linéaires.

3. Toute la théorie de l’interpolation des suites se réduit à déterminer, quel que soit la valeur de en fonction des termes qui précèdent ou qui suivent Pour cela, on doit observer que est égal au coefficient de dans le développement de et par conséquent égal au coefficient de dans le développement de or on a