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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

deuxième fraction de la page 19, ou pour la valeur de ${\frac {1}{t^{i}}},$

(A)

$\quad \left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{t^{i}}}&=b\left[\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+z^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+z^{3}\mathrm {Z} _{i-4n+1}^{(3)}+\ldots \right]\\&+c\left[\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+z\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+z^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+2}^{(2)}+z^{3}\mathrm {Z} _{i-4n+2}^{(3)}+\ldots \right]\\&+e\left[\mathrm {Z} _{i-n+3}^{(0)}+z\mathrm {Z} _{i-2n+3}^{(1)}+z^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+3}^{(2)}+z^{3}\mathrm {Z} _{i-4n+3}^{(3)}+\ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {1}{t}}\left\{{\begin{aligned}&c\left[\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+z^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \right]\\+&e\left[\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+z\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+z^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+2}^{(2)}+\ldots \right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\\&+{\frac {1}{t^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&e\left[\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+z^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {1}{t^{n-1}}}q\left[\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+z^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \right].\end{aligned}}\right.$

Présentement, si l’on désigne par $\nabla y_{x}$ la quantité

$ay_{x}+by_{x+1}+cy_{x+2}+\ldots qy_{x+n},$

par $\nabla ^{2}y_{x}$ ce que devient $\nabla y_{x}$ lorsqu’on y change $y_{x}$ dans $\nabla y_{x},$ par $\nabla ^{3}y_{x}$ ce que devient $\nabla ^{2}y_{x}$ lorsqu’on y change $\nabla y_{x}$ dans $\nabla ^{2}y_{x},$ et ainsi de suite, il est visible, par le n^o 2, que le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de ${\frac {uz^{s}}{t^{r}}}$ sera $\nabla ^{s}y_{x+r}\,;$ en multipliant donc l’équation précédente par $u$ et en ne considérant dans chaque terme que le coefficient de $t^{x},$ c’est-à-dire en repassant des fonctions génératrices aux coefficients, on aura

(B)

$\left\{{\begin{aligned}y_{x+i}&=y_{x}\quad \left[b\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+c\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+e\mathrm {Z} _{i-n+3}^{(0)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i}^{(0)}\right]\\&+\nabla y_{x}\ \ \left[b\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+c\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+e\mathrm {Z} _{i-2n+3}^{(1)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-n}^{(1)}\right]\\&+\nabla ^{2}y_{x}\left[b\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+c\mathrm {Z} _{i-3n+2}^{(2)}+e\mathrm {Z} _{i-3n+3}^{(2)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-2n}^{(2)}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+y_{x+1}\ \ \ \left[c\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-1}^{(0)}\right]\\&+\nabla y_{x+1}\left[c\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+e\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-n-1}^{(1)}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+y_{x+2}\ \ \ \left[e\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-2}^{(0)}\right]\\&+\nabla y_{x+2}\left[e\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-n-2}^{(1)}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+qy_{x+n-1}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+q\nabla y_{x+n-1}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+q\nabla ^{2}y_{x+n-1}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots .\end{aligned}}\right.$