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Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/223

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LIVRE PREMIER.

Supposons que l’on ait l’équation différentielle

étant une fonction donnée de il faut, par le no 6, ajouter à l’expression précédente de le terme étant la même fonction de que L’intégrale relative à doit être prise depuis jusqu’à Cette intégrale définie peut, par le numéro cité, être transformée en intégrales indéfinies relatives à .

De la transformation des suites.

9. La théorie des fonctions génératrices peut servir encore à transformer les suites en d’autres qui suivent une loi donnée. Considérons la suite infinie

(V)

et nommons, comme ci-dessus, la somme de la série infinie

le coefficient de dans le développement de la fraction sera égal à la somme de la suite proposée (V), prise depuis le terme inclusivement jusqu’à l’infini. Soit généralement une fonction quelconque de et nommons le coefficient de dans Les coefficients de dans seront Cela posé, on multipliera le numérateur et le dénominateur de la fraction par et l’on prendra pour ce que devient lorsqu’on y fait égal à l’unité ; sera divisible alors par Soit