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LIVRE PREMIER.

On a

${\begin{aligned}&uu'u''\ldots \left({\frac {1}{t^{i}t'^{i}t''^{i}\ldots }}-1\right)^{n}\\&\ \ =uu'u''\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}\left(1+{\frac {1}{t'}}-1\right)^{i}\left(1+{\frac {1}{t''}}-1\right)^{i}\ldots -1\right]^{n}.\end{aligned}}$

En désignant donc par $'\Delta ^{n}y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots ,$ la différence finie du produit $y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots ,$ lorsque $x$ varie de $i,$ l’équation précédente donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients

(11)

$'\Delta ^{n}y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots =\left[(1+\Delta )^{i}(1+\Delta ')^{i}(1+\Delta '')^{i}\ldots -1\right]^{n}.$

en observant les conditions prescrites ci-dessus relativement aux caractéristiques $\Delta ,\Delta ',\Delta '',\ldots$ et à leurs puissances. Cette dernière équation subsiste encore en faisant $n$ négatif, pourvu que l’on change les différences négatives en intégrales.

Supposons

$x={\frac {x'}{dx'}},\qquad i={\frac {\alpha }{dx'}}\,;$

$y_{x},y'_{x},\ldots$ deviendront des fonctions de $x',$ que nous désignerons par $y_{x'},y'_{x'},\ldots \,;$ l’équation (11) donnera ainsi la suivante, en observant que les caractéristiques $\Delta ,\Delta ',\ldots$ se changent en $d,d',\ldots ,$ et que l’on a

$(1+dy_{x'})^{\frac {\alpha }{dx'}}=c^{\alpha {\frac {dy_{x'}}{dx'}}}.$

(12)

$'\Delta ^{n}y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots =\left(c^{\alpha {\frac {dy_{x'}}{dx'}}+\alpha {\frac {dy'_{x'}}{dx'}}+\alpha {\frac {dy''_{x'}}{dx'}}+\ldots }-1\right)^{n}.$

équation qui subsiste encore en faisant $n$ négatif et changeant les différences négatives en intégrales.

Ne considérons que deux variables $y_{x}$ et $y'_{x}$ et supposons $y'_{x}=p^{x}\,;$ on aura

$(1+\Delta ')^{i}=p^{x}+i\Delta p^{x}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\Delta ^{2}p^{x}+\ldots .$

Or on a généralement, $x$ variant de l’unité,

$\Delta ^{r}p^{x}=p^{x}(p-1)^{r}\,;$