ce même coefficient, dans un terme quelconque, tel que
ou
est
la caractéristique
des différences se rapportant à la variabilité de
et cette variable devant être supposée nulle après les différentiations ; 3o que ce coefficient dans
est
la caractéristique
se rapportant à la variabilité de
et cette variable devant être supposée nulle après les différentiations ; on aura donc, avec ces conditions,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{x,x'}=&\mathrm {V} b^{x'}{'}\Delta ^{x'}\left({\frac {y_{0,x'}}{b^{x'}}}\right)+\mathrm {V} ^{(1)}b^{x'-1}{'}\Delta ^{x'-1}\left({\frac {y_{0,x'}}{b^{x'}}}\right)+\ldots +\mathrm {V} ^{(x')}y_{0,0}\\&+{\frac {a}{c+ab}}\mathrm {V} ^{(x'+1)}\Delta \left({\frac {y_{x,0}}{a^{x}}}\right)+{\frac {a^{2}}{(c+ab)^{2}}}\mathrm {V} ^{(x'+2)}\Delta ^{2}\left({\frac {y_{x,0}}{a^{x}}}\right)+\ldots \\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {a^{x}}{(c+ab)^{x}}}\mathrm {V} ^{(x'+x)}\Delta ^{x}\left({\frac {y_{x,0}}{a^{x}}}\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a4fb69028a823f3b47c273086a23220eeabdfb)
c’est l’intégrale complète de l’équation
aux différences partielles. Il est clair que cette intégrale suppose que l’on connaît le premier rang horizontal et le premier rang vertical de la Table (Q) du no 14.
17. L’expression précédente de
offre cela de remarquable, savoir que les caractéristiques
et
des différences finies ont pour exposants les variables
et
En voici un autre exemple. Considérons l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle 0=\Delta ^{n}y_{x,x'}+{\frac {a}{\alpha }}\Delta ^{n-1}{'}\Delta y_{x,x'}+{\frac {b}{\alpha ^{2}}}\Delta ^{n-2}{'}\Delta y_{x,x'}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9814b0915177e3246636798062d2826bb701b492)
la caractéristique
se rapportant à la variable
dont l’unité est la différence, et la caractéristique
se rapportant à la variable
dont
est la différence. L’équation génératrice correspondante sera, par le numéro précédent,
![{\displaystyle 0=\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n}+{\frac {a}{\alpha }}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc738f54b7e0fb151cc285373a555c4004c736c)
![{\displaystyle +{\frac {b}{\alpha ^{2}}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-2}\left({\frac {1}{t'^{2}}}-1\right)^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c99d1878b7833417d805b5696075e2e7c28b97)