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LIVRE PREMIER.

En différenciant ces équations, on aura des différentielles de cette forme

${\begin{aligned}dt=&\mathrm {L} d\theta +\mathrm {I} d\theta ',\\dt'=&\mathrm {L} 'd\theta +\mathrm {I} 'd\theta '.\end{aligned}}$

Maintenant on a

$\iint ydxdx'=\iint yd\theta d\theta '\,;$

dans le produit $d\theta d\theta ',\ d\theta$ est pris en supposant $\theta '$ constant, et alors on a

$dt=\mathrm {L} d\theta \,;$

ensuite $dt'$ doit être pris en regardant $t$ constant dans le produit $dtdt'\,;$ alors on a

${\begin{aligned}0=&\mathrm {L} d\theta +\mathrm {I} d\theta ',\\dt'=&\mathrm {L} 'd\theta +\mathrm {I} 'd\theta ',\end{aligned}}$

ce qui donne

$dt'=\mathrm {\frac {LI'-L'I}{L}} d\theta '\,;$

on a donc

$dtdt'=d\theta d\theta '\mathrm {(LI'-L'I)} \,;$

par ce moyen, l’intégrale $\iint yd\theta d\theta '$ est transformée dans celle-ci :

$\mathrm {Y} \iint {\frac {dtdt'c^{-t^{2}-t'^{2}}}{\mathrm {LI'-L'I} }}.$

Le dénominateur $\mathrm {LI'-L'I}$ est une fonction de $\theta$ de $\theta '$ que l’on réduira en fonction de $t$ et de $t',$ au moyen des valeurs de $t$ et de $t'$ en $\theta$ et $\theta '.$ On obtiendra ainsi l’intégrale précédente dans une suite de termes de la forme $\iint t^{n}t^{'n'}dtdt'c^{-t^{2}-t'^{2}},$ les intégrales étant prises depuis $t$ et $t'$ égaux à $-\infty ,$ jusqu’à leurs valeurs infinies positives. Ces intégrales sont nulles lorsque l’un des deux nombres $n$ et $n'$ est impair, et dans le cas où ils sont tous deux pairs, $n$ étant égal à $2i,$ et $n'$ à $2i',$ on a

$\iint t^{2i}t^{'2i'}dtdt'c^{-t^{2}-t'^{2}}={\frac {1.3.5\ldots (2i-1).1.3.5\ldots (2i'-1)}{2^{i}.2^{i'}}}\pi .$

Si les puissances auxquelles les facteurs de $y$ sont élevés sont très