Puisque la fonction
doit être indépendante de
et par conséquent de
\delta y,
on doit égaler séparément à zéro la partie de cette équation affectée du signe
ce qui partage l’équation précédente dans les deux suivantes :
(2)
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(3)
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La première de ces équations sert à déterminer la fonction
, et la seconde détermine les limites dans lesquelles l’intégrale
est comprise.
On peut observer que l’équation (2) est l’équation de condition qui doit avoir lieu pour que la fonction différentielle
![{\displaystyle \left(\mathrm {M} \delta y+\mathrm {N} {\frac {d\delta y}{dx}}+\mathrm {P} {\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}+\ldots \right)\varphi dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03ea1bca5f2ce365ceb74872fcba455e5599d43)
soit une différentielle exacte, quel que soit
et dans ce cas l’intégrale de cette fonction est égale au second membre de l’équation (3) ;
est donc le facteur en
seul qui doit multiplier l’équation
![{\displaystyle 0=\mathrm {M} \delta y+\mathrm {N} {\frac {d\delta y}{dx}}+\mathrm {P} {\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c33400924457984b8110fe31d6e1fcc182f759)
pour la rendre intégrale. Si
était connu, on pourrait abaisser cette équation d’un degré, et, réciproquement, si cette équation était abaissée d’un degré, le coefficient de
dans sa différentielle divisée par
donnerait une valeur de
cette équation et l’équation (2) sont conséquemment liées entre elles, de manière qu’une intégrale de l’une donne une intégrale de l’autre.
La valeur de
étant supposée connue, on aura celle de
au moyen