étant un nombre entier ; ainsi
![{\displaystyle s^{s+{\frac {1}{2}}}=\left(s'+{\frac {m}{n}}\right)^{s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}}=s'^{s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}}c^{\left(s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)\log \left(1+{\frac {m}{ns'}}\right)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e1f01fabb45a371360779cc9df8bff7f7c4529)
or on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)\log \left(1+{\frac {m}{ns'}}\right)=&\left(s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {m}{ns'}}-{\frac {m^{2}}{2n^{2}s'^{2}}}+\ldots \right)\\&{\frac {m}{n}}+{\frac {m^{2}+mn}{2n^{2}s'}}+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9acaa030046b18a00b79fee5312d66f76def22)
On a d’ailleurs, en faisant ![{\displaystyle x=t^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece2fa8307a4b34d37a63c8fd8ef32d98bbdf9b8)
![{\displaystyle \int x^{\frac {m}{n}}dxc^{-x}={\frac {m}{n}}\int x^{{\frac {m}{n}}-1}dxc^{-x}=m\int t^{m-1}dtc^{-t^{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736baededf35b52c08b57a4360bee006221e3d5d)
l’intégrale relative à
étant prise depuis
jusqu’à
infini. En substituant ces valeurs dans la formule
elle donnera
![{\displaystyle (q'')\quad \left\{{\begin{aligned}&m(m+n)(m+2n)\ldots (m+s'n)\\&={\frac {n^{s'}s'^{s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}}c^{-s'}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\cfrac {n^{2}+6mn+6m^{2}}{12n^{2}s'}}+\ldots \right)}{\int t^{m-1}dtc^{-t^{n}}}}\,;\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a2557d66cc51d0ddd838c150419b82395b035c)
en sorte que la valeur approchée du produit des termes de la progression arithmétique
dépend des trois transcendantes
et ![{\displaystyle \int t^{m-1}dtc^{-t^{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a405a4116807a16f7834cf97323104dd565451d2)
Si dans cette équation on fait, pour plus de simplicité,
ce qui change
en
et si l’on observe que
on aura
![{\displaystyle (1+\mu )(2+\mu )\ldots (s'+\mu )=s'^{s'+\mu +{\frac {1}{2}}}c^{-s'}{\sqrt {2\pi }}{\frac {1+{\cfrac {1+6\mu +6\mu ^{2}}{12s'}}+\ldots }{\int t^{\mu }dtc^{-t}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ad14d02d7ad6b5a94907d2de93b37e73966ed4)
En changeant
dans
on aura
![{\displaystyle (1-\mu )(2-\mu )\ldots (s'-\mu )=s'^{s'-\mu +{\frac {1}{2}}}c^{-s'}{\sqrt {2\pi }}{\frac {1+{\cfrac {1-6\mu +6\mu ^{2}}{12s'}}+\ldots }{\int t^{-\mu }dtc^{-t}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7962f02dbbecd2d92f3528387db9296a5e35544)