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LIVRE PREMIER.
En effet, en développant le binôme renfermé sous le signe
et substituant, au lieu de
sa valeur
on aura le terme moyen du binôme, plus une suite de cosinus de l’angle
et de ses multiples ; en les multipliant par
et les intégrant, cette suite se transformera dans une suite de sinus de l’angle
et de ses multiples, sinus qui sont nuls aux deux limites
et
Il ne restera ainsi dans l’intégrale que le terme moyen du binôme, multiplié par
Cela posé, si l’on substitue, au lieu du binôme
sa valeur
on aura
![{\displaystyle y_{s}={\frac {2^{2s+1}}{\pi }}\int d\varpi \cos ^{2s}\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8581c8e3a3143d5e67835cb9e8223ff1eaa356d)
en supposant
on aura
![{\displaystyle y_{s}={\frac {2^{2s+1}}{\pi }}\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67343fdf16f4d6d5d55fee773a5bfea215280072)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
ce qui coïncide avec ce que l’on a trouvé dans le numéro précédent.
Considérons maintenant le trinôme
et nommons
le terme moyen, ou indépendant de
dans le développement de ce trinôme. Ce terme sera le terme indépendant de
dans le développement du trinôme
on aura conséquemment, en appliquant ici le raisonnement qui précède,
![{\displaystyle y_{s}={\frac {1}{\pi }}\int d\varpi (1+2\cos \varpi )^{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a995c4b01b39fb945ba0ddd6b1dce9e6404f00ff)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
La condition du maximum de la fonction
donne
en sorte que les deux limites de l’intégrale,
et
répondent à des maxima de cette fonction ; on partagera donc l’intégrale précédente dans les deux suivantes
![{\displaystyle \int d\varpi (1+2\cos \varpi )^{s},\qquad (-1)^{s}\int d\varpi (2\cos \varpi -1)^{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23041840fb2405ae70b0e1ef952492d3a1a9bff)
la première de ces intégrales étant prise depuis
nul jusqu’à la valeur