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LIVRE PREMIER.

On déterminera de la même manière le terme moyen d’un polynôme quelconque, élevé à une très haute puissance. Supposons d’abord le nombre des termes du polynôme impair et égal à $2n+1,$ et représentons ce polynôme par

${\frac {1}{a^{n}}}+{\frac {1}{a^{n-1}}}+\ldots +{\frac {1}{a}}+1+a+\ldots +a^{n-1}+a^{n}.$

En substituant $c^{\varpi {\sqrt {-1}}}$ pour $a$, ce polynôme devient

$1+2\cos \varpi +2\cos 2\varpi +\ldots +2\cos n\varpi \,;$

or cette fonction est égale à ${\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}\,;$ la puissance $s$ du polynôme est donc

$\left({\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}\right)^{s}.$

Le terme moyen de cette puissance est le terme indépendant de $\varpi ,$ dans son développement en cosinus de l’angle $\varpi$ et de ses multiples. On aura évidemment ce terme en multipliant la puissance par $d\varpi ,$ en prenant ensuite l’intégrale depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =\pi$ et en la divisant par $\pi .$ Ce terme est donc égal à

${\frac {1}{\pi }}\int d\varpi \left({\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}\right)^{s}.$

La condition du maximum de ${\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}$ donne l’équation

$\operatorname {tang} {\frac {2n+1}{2}}\varpi =(2n+1)\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varpi .$

Il y a, depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi =\pi ,$ plusieurs maxima, alternativement positifs et négatifs. Le premier répond à $\varpi$ nul et donne

$\left({\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}\right)^{s}=(2n+1)^{s}.$