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entier, ce qui rend ${\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\mathrm {H} }{\sin {\cfrac {1}{2}}\mathrm {H} }}$ fini, excepté lorsque $\mathrm {H}$ est zéro, ce qui répond au premier maximum.

Si le polynôme est composé d’un nombre de termes pair et égal à $2n,$ tel que

${\frac {1}{a^{n-{\frac {1}{2}}}}}+{\frac {1}{a^{n-{\frac {3}{2}}}}}+\ldots +{\frac {1}{a^{\frac {1}{2}}}}+a^{\frac {1}{2}}+\ldots +a^{n-{\frac {3}{2}}}+a^{n-{\frac {1}{2}}},$

en y substituant $c^{\varpi {\sqrt {-1}}}$ au lieu de $a,$ il devient

$2\cos {\frac {1}{2}}\varpi +2\cos {\frac {3}{2}}\varpi +\ldots +2\cos {\frac {2n-1}{2}}\varpi ,$

ou ${\frac {\sin n\varpi }{\sin {\frac {1}{2}}\varpi }}.$ Ce polynôme, élevé à une puissance entière et positive, ne peut avoir de terme moyen ou indépendant des cosinus de ${\frac {1}{2}}\varpi$ et de ses multiples, qu’au tant que cette puissance est paire ; représentons-la par $2s\,:$ alors le terme moyen sera

${\frac {1}{\pi }}\int d\varpi \left({\frac {\sin n\varpi }{\sin {\frac {1}{2}}\varpi }}\right)^{s},$

l’intégrale étant prise depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi =\pi .$ Cette intégrale se compose de diverses intégrales partielles, relatives aux divers maxima de la fonction ${\frac {\sin n\varpi }{\sin {\frac {1}{2}}\varpi }}\,;$ mais on s’assurera facilement, par l’analyse précédente, que toutes ces intégrales, lorsque $2s$ est un très grand nombre et lorsque $n$ est plus grand que l’unité, sont incomparablement plus petites que celle qui est relative au premier maximum, qui correspond à $\varpi$ nul ; et alors on trouve à très peu près le terme moyen de la puissance $2s$ du polynôme égal à

${\frac {(2n)^{2s}{\sqrt {3}}}{\sqrt {(2n-1)(2n+1)s\pi }}}.$

En rapprochant ce résultat du précédent, on voit que, si l’on nomme généralement $n'$ le nombre des termes du polynôme et $s'$ la puissance