dans laquelle se change la formule
lorsqu’on y fait
négatif et égal à
On peut mettre la fonction
sous cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}c^{-{\frac {nx}{2}}}\left(c^{-{\frac {x}{2}}}-c^{\frac {x}{2}}\right)^{n}=&(-1)^{n}c^{-{\frac {nx}{2}}}x^{n}\left(1+{\frac {1}{1.2.3}}{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {1}{1.2.3.4.5}}{\frac {x^{4}}{2^{4}}}+\ldots \right)^{n}\\=&(-1)^{n}c^{-{\frac {nx}{2}}}x^{n}\left[1+{\frac {nx^{2}}{24}}+{\frac {n(5n-2)}{15.16.24}}x^{4}+\ldots \right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947c59be143d7b37edf87d96e4627341035560c4)
on aura donc
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{i+1}}}c^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}=(-1)^{n}\int {\frac {dx}{x^{i+1-n}}}c^{-\left(s+{\frac {n}{2}}\right)x}\left(1+{\frac {nx^{2}}{24}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da493ae0bb4622bc86bc9d89bd9e85cea6eb2e71)
Si l’on fait
![{\displaystyle \left(s+{\frac {n}{2}}\right)x=x',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba35b109d82297f9db652a8b3253f4364fcf719)
on aura généralement
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{r}}}c^{-\left(s+{\frac {n}{2}}\right)x}=\left(s+{\frac {n}{2}}\right)^{r-1}\int {\frac {dx'c^{-x'}}{x'^{r}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47ebd4ec5d1ff0f4dc2fb4782d4120a3117a2dc)
or on a trouvé dans le no 33, par le passage du réel à l’imaginaire,
![{\displaystyle \int {\frac {dx'c^{-x'}}{x'^{r}}}={\frac {2\pi (-1)^{r-{\frac {1}{2}}}}{\int x'^{r-1}dx'c^{-x'}}}={\frac {2\pi (-1)^{r-{\frac {1}{2}}}}{(r-1)(r-2)(r-3)\ldots }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4f3c547e325e7c319ff432eea1651ccafb967b)
partant on aura
![{\displaystyle (\mu '')\quad \left\{{\begin{aligned}\Delta ^{n}s^{i}&=(i-n+1)(i-n+2)\ldots \left(s+{\frac {n}{2}}\right)^{i-n}\\&\times \left\{{\begin{aligned}&1+(i-n)(i-n-1){\frac {n}{24\left(s+{\frac {n}{2}}\right)^{2}}}\\&+(i-n)(i-n-1)(i-n-2)(i-n-3)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times {\frac {n(5n-2)}{15.16.24\left(s+{\frac {n}{2}}\right)^{4}}}\end{aligned}}\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2a9db9544daa4857d71c248d9c5bfa9066fb77)
Cette série sera très convergente si
est peu considérable relativement à
elle peut d’ailleurs être employée dans le cas où
est