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Supposons $r=n-1,$ ce qui donne $i=n-1+{\frac {m}{n}},$ et comparons séparément les parties réelles et les parties imaginaires de l’équation précédente. On a

$(1)^{i}=(1)^{n-1}(1)^{\frac {m}{n}}=1^{\frac {m}{n}}\,;$

or on a

$1=\cos 2l\pi +{\sqrt {-1}}\sin 2l\pi ,$

$l$ étant un nombre entier ; on aura donc

$(1)^{\frac {m}{n}}=\cos {\frac {2lm\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2lm\pi }{n}}.$

Les valeurs correspondantes de $(-1)^{\frac {m}{n}}$ sont

$\cos(2l+1){\frac {m\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin(2l+1){\frac {m\pi }{n}}.$

Maintenant $(1)^{i}$ devant être supposé égal à l’unité dans l’équation $(o),$ il faut choisir $l$ de manière que $\cos {\frac {2lm\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2lm\pi }{n}}$ soit $1,$ ce qui exige que l’on ait

${\frac {2lm\pi }{n}}=2f\pi ,$

$f$ étant un nombre entier que nous pouvons supposer nul ; alors on a

$(-1)^{\frac {m}{n}}=\cos {\frac {m\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {m\pi }{n}}\,;$

mais on a

$\pm (-1^{i}=\pm (-1)^{n-1+{\frac {m}{n}}}=-(-1)^{\frac {m}{n}}\,;$

la partie imaginaire du premier membre de l’équation $(o)$ est donc

$-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {m\pi }{n}}\left[s^{i}-n(s-1)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s-2)^{i}-\ldots \right].$

Déterminons la partie imaginaire du second membre de l’équation $(o).$ On a

$(-1)^{r+n-1}=(-1)^{2n-2}=1\,;$