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CHAPITRE II.

de la probabilité des évènements composés d’évènements simples
dont les possibilités respectives sont données.

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3. Si l’on développe le produit $(1+p)(1+p')(1+p'')\ldots ,$ composé de $n$ facteurs, ce développement renfermera toutes les combinaisons possibles des $n$ lettres $p,p',p'',\ldots p^{(n-1)},$ prises une à une, deux à deux, trois à trois, … jusqu’à $n,$ et chaque combinaison aura pour coefficient l’unité. Ainsi, la combinaison $pp'p''$ résultant du produit $(1+p)(1+p')(1+p'')\ldots ,$ multiplié par le terme $1$ du développement des autres facteurs, son coefficient est évidemment l’unité. Maintenant, pour avoir le nombre total des combinaisons de $n$ lettres prises $x$ à $x,$ on observera que chacune de ces combinaisons devient $p^{x},$ lorsqu’on suppose $p',p'',\ldots$ égaux à $p$. Alors le produit des $n$ facteurs précédents se change dans le binôme $(1+p)^{n}\,;$ or le coefficient de $p^{x}$ dans le développement de ce binôme est

${\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-x+1)}{1.2.3\ldots x}}\,;$

cette quantité exprime donc le nombre des combinaisons des $n$ lettres prises $x$ à $x.$ On aura le nombre total des combinaisons de ces lettres, prises une à une, deux à deux, …, jusqu’à $n$ à $n,$ en faisant $p=1,$ dans le binôme $(1+p)^{n},$ et en retranchant l’unité, ce qui donne $2^{n}-1$ pour ce nombre.

Supposons que dans chaque combinaison on ait égard non seulement au nombre des lettres, mais encore à leur situation ; on déterminera le