et leur application à l’un des problèmes les plus curieux de cette théorie.
Le problème proposé par Pascal à Fermat revient à déterminer les probabilités respectives des joueurs pour gagner la partie ; car il est clair que l’enjeu doit être partagé entre les joueurs proportionnellement à leurs probabilités. Ces probabilités sont les mêmes que celles de deux joueurs et , qui doivent atteindre un nombre donné de points, étant le nombre de ceux qui manquent au joueur , et étant le nombre de ceux qui manquent au joueur , en imaginant une urne renfermant deux boules dont l’une est blanche et l’autre est noire, toutes deux portant le no 1, la boule blanche étant pour le joueur , et la boule noire pour le joueur On tire successivement une de ces boules, et on la remet dans l’urne après chaque tirage. En nommant la probabilité que le joueur atteindra, le premier, le nombre donné de points, ou, ce qui revient au même, qu’il aura appoints avant que en ait on aura
car, si la boule que l’on extrait est blanche, se change en et si la boule extraite est noire, se change en et la probabilité de chacun de ces événements est on a donc l’équation précédente.
La fonction génératrice de dans cette équation aux différences partielles est, par le no 20 du Livre Ier,
étant une fonction arbitraire de Pour la déterminer, nous observerons que ne peut avoir lieu, puisque la partie cesse lorsque l’une ou l’autre des variables et est nulle ; doit donc avoir pour facteur De plus est l’unité, quel que soit la probabilité du joueur se changeant alors en certitude : or la fonction génératrice de l’unité est généralement car les coefficients des puissances de
