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valeur par le procédé suivant, qui s’applique au cas général où $a$ et $b$ sont égaux ou différents entre eux.

Reprenons la fonction génératrice de $y_{a,x'}$ trouvée ci-dessus ; $y_{a,x'}$ est le coefficient de $t^{x'-b}$ dans le développement de la fonction

$a^{b}p^{b}{\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {Q} \left(1-t'^{2}\right)}},$

en supposant

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&{\frac {\left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}-\left(1-{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}}{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}},\\\mathrm {Q} =&{\frac {\left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a+b}-\left(1-{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a+b}}{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}}.\end{aligned}}$

Il résulte du n^o 5 du Livre I^er que, si l’on considère les deux termes

${\frac {\mathrm {P} }{2t'^{2i}\mathrm {Q} }}-{\frac {\mathrm {P} }{\left(1-t'^{2}\right)t'^{2i+1}{\frac {d\mathrm {Q} }{dt'}}}},$

que l’on fasse ensuite successivement $t'=1$ et $t'=-1$ dans le premier terme, et $t'$ égal successivement à toutes les racines de l’équation $\mathrm {Q} =0$ dans le second terme, la somme de tous les termes que l’on obtient de cette manière sera le coefficient de $t'^{2i}$ dans le développement de la fraction

${\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {Q} \left(1-t'^{2}\right)}}.$

Ce que le premier terme produit dans cette somme est

${\frac {p^{a}-q^{a}}{2^{b}\left(p^{a+b}-q^{a+b}\right)}}.$

Pour avoir les racines de l’équation $\mathrm {Q} =0,$ nous ferons

$t'={\frac {1}{2{\sqrt {pq}}\cos \varpi }},$

ce qui donne

$\mathrm {Q} ={\frac {(cos\varpi +{\sqrt {-1}}\sin \varpi )^{a+b}-(cos\varpi -{\sqrt {-1}}\sin \varpi )^{a+b}}{{\sqrt {-1}}\sin \varpi (\cos \varpi )^{a+b-1}}}.$